В геометрии Атанасяна неявно иллюстрируется аксиома?

[Temorion]

В геометрии у Атанасяна за 7-9 класс в самом начале (23 стр.) утверждается, что две прямые перпендикулярные к третьей не пересекаются. Это иллюстрируется нестрогой картинкой о перегибании плоскости и получением невозможной ситуации в случае, если мы предположим, что они могли бы пересекаться. В третьей главе доказываются признаки параллельности прямых с ссылкой на то доказательство.

Я подумал, а не просто ли это так? По моему то соображение, которое авторы показывали, напрямую следует из 5 постулата Евклида: "Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых." (Википедия, Начала), т.к. если сумма внутренних односторонних ни там, ни с другой стороны не меньше 180°, то прямые не пересекаются. Может я пропустил обоснование этого и это не иллюстрация постулата?

[Pphantom]

Temorion в сообщении #1556368 писал(а):

По моему то соображение, которое авторы показывали, напрямую следует из 5 постулата Евклида

А откуда следует, что аксиомы в учебнике Атанасяна и у Евклида должны дословно совпадать?

[Temorion]

Pphantom в сообщении #1556369 писал(а):

Temorion в сообщении #1556368 писал(а):

По моему то соображение, которое авторы показывали, напрямую следует из 5 постулата Евклида

А откуда следует, что аксиомы в учебнике Атанасяна и у Евклида должны дословно совпадать?

Ниоткуда, но кажется, что они должны быть сводимыми друг к другу, чтобы получилась Евклидова геометрия. То есть должны давать те же результаты, что в исходной версии у Евклида.
Значит можно сказать, что это одно и то же, но сформулированное по разному?

[Pphantom]

Temorion в сообщении #1556371 писал(а):

Ниоткуда, но кажется, что они должны быть сводимыми друг к другу

Да. Поэтому ситуация, когда аксиома из одного набора является следствием аксиомы из другого, вполне нормальна.

[Temorion]

Pphantom в сообщении #1556373 писал(а):

Temorion в сообщении #1556371 писал(а):

Ниоткуда, но кажется, что они должны быть сводимыми друг к другу

Да. Поэтому ситуация, когда аксиома из одного набора является следствием аксиомы из другого, вполне нормальна.

Тогда если это аксиома (хоть вы напрямую не подтвердили), то вопрос исчерпан

[Pphantom]

Temorion в сообщении #1556375 писал(а):

Тогда если это аксиома (хоть вы напрямую не подтвердили), то вопрос исчерпан

См. страницу 60 того же учебника. В общем-то странно было бы ожидать от учебника для 7 класса формулировки аксиоматики с первых же страниц.

[eugensk]

Temorion
"Две прямые перпендикулярные к третьей не пересекаются" выполняется и в геометрии без пятого постулата. Поэтому имеет смысл посмотреть как она доказывается.

-- 04 июн 2022, 14:54 --

Temorion в сообщении #1556368 писал(а):

По моему то соображение, которое авторы показывали, напрямую следует из 5 постулата Евклида: "Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых." (Википедия, Начала), т.к. если сумма внутренних односторонних ни там, ни с другой стороны не меньше 180°, то прямые не пересекаются.

Как это? Сказано если A то В, а вы говорите: значит, если не A, то не B. Нет, не значит.

[Sinoid]

Pphantom в сообщении #1556379 писал(а):

В общем-то странно было бы ожидать от учебника для 7 класса формулировки аксиоматики с первых же страниц.

Как по мне, так я по-другому изучение геометрии и не представляю: я учился по Погорелову, так там именно так и есть.

[Temorion]

-- 04 июн 2022, 14:54 --

Цитата:

Temorion в сообщении #1556368 писал(а):

По моему то соображение, которое авторы показывали, напрямую следует из 5 постулата Евклида: "Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых." (Википедия, Начала), т.к. если сумма внутренних односторонних ни там, ни с другой стороны не меньше 180°, то прямые не пересекаются.

Как это? Сказано если A то В, а вы говорите: значит, если не A, то не B. Нет, не значит.

Да, в общем случае - не значит, но у нас ситуации две - как говорится в учебнике Атанасяна - либо прямые пересекаются, либо нет, то есть в этом случае неявно следует параллельность.

eugensk в сообщении #1556380 писал(а):

Temorion
"Две прямые перпендикулярные к третьей не пересекаются" выполняется и в геометрии без пятого постулата. Поэтому имеет смысл посмотреть как она доказывается.

Данная тема как раз об этом! Можно доказательство или ссылку на него?

[eugensk]

Temorion

Temorion в сообщении #1556407 писал(а):

а, в общем случае - не значит, но у нас ситуации две - как говорится в учебнике Атанасяна - либо прямые пересекаются, либо нет, то есть в этом случае неявно следует параллельность.

Еще раз, в постулате говорится, что если с какой-то стороны внутренние односторонние углы в сумме меньше 180°, то прямые с этой стороны пересекутся. Тут это если не выполняется. С обеих сторон внутренние односторонние углы в сумме дают 90°+90°, т.е. ровно 180°. Значит, мы не можем применить постулат, мы не можем утверждать что прямые пересекутся, и что они не пересекутся, тоже не можем утверждать. Либо прямые пересекаются, либо нет, с этим полностью согласен, только постулат позволяет и то, и то, так как его условие не выполняется.


Доказательство теоремы - то самое, с перегибанием бумаги. Должно получиться что если прямые пересекаются, то через две точки проходят две различные прямые. Если бы у вас были аксиомы наложения плоскости, можно было бы доказывать строже, но наверно они слишком сложны для школы, хотя идея их понятна: перегибание это наложение плоскости на себя, точки прямой по которой перегибают переходят сами в себя, если две точки при наложении перешли в какие то две другие точки, то прямая проходившая через них перейдет в прямую проходящую через те другие точки, прямой угол можно наложить на смежный ему и т.д.

[Temorion]

eugensk в сообщении #1556412 писал(а):

Temorion

Temorion в сообщении #1556407 писал(а):

а, в общем случае - не значит, но у нас ситуации две - как говорится в учебнике Атанасяна - либо прямые пересекаются, либо нет, то есть в этом случае неявно следует параллельность.

Еще раз, в постулате говорится, что если с какой-то стороны внутренние односторонние углы в сумме меньше 180°, то прямые с этой стороны пересекутся. Тут это если не выполняется. С обеих сторон внутренние односторонние углы в сумме дают 90°+90°, т.е. ровно 180°. Значит, мы не можем применить постулат, мы не можем утверждать что прямые пересекутся, и что они не пересекутся, тоже не можем утверждать. Либо прямые пересекаются, либо нет, с этим полностью согласен, только постулат позволяет и то, и то, так как его условие не выполняется.


Доказательство теоремы - то самое, с перегибанием бумаги. Должно получиться что если прямые пересекаются, то через две точки проходят две различные прямые. Если бы у вас были аксиомы наложения плоскости, можно было бы доказывать строже, но наверно они слишком сложны для школы, хотя идея их понятна: перегибание это отображение плоскости на себя, точки прямой по которой перегибают переходят сами в себя, если две точки перешли в какие то две другие точки, то прямая проходившая через них перейдет в прямую проходящую через те другие точки, прямой угол можно наложить на смежный ему и т.д.

Если такое доказательство принято использовать для данной теоремы, то меня устраивает, спасибо.

upd: еще раз обратил внимание на слова Pphantom'а о 60-ой странице учебника. Теперь все кристально ясно. Благодарю всех.

[TelmanStud]

Temorion в сообщении #1556368 писал(а):

В геометрии у Атанасяна за 7-9 класс в....

Выкиньте эту книгу и вооружитесь чем либо другим (в лучшем случае Шарыгином).
У Атанасяна есть теоремы суть, которых облегчение (автору) изложения материала, а не желание изложения самой геометрии. В той же книге Шарыгина Вы не найдете, приведенной вами теоремы.

[Mihr]

TelmanStud в сообщении #1556543 писал(а):

У Атанасяна есть теоремы суть, которых облегчение (автору) изложения материала, а не желание изложения самой геометрии.

Непонятно это противопоставление. Разве материал, который излагает Атанасян, - не геометрия? Что такое "сама геометрия" в вашем понимании?

[novichok2018]

Несколько лет назад надо было помочь школьнику решить задачу по геометрии из этого Атанасяна. Попытался разобраться в их определениях и не смог. Друг, который занимается с детьми постоянно, мне сказал: это не настоящая геометрия, это армянская геометрия, там полно таких мест и задач. Я больше этот учебник в руки не возьму (да и не надо), но вот было такое мнение.
Вообще издание учебников и получение гонораров за это превратили в прибыльный бизнес для псевдоавторов и издателей, распил госсредств, и немаленьких. Удивительно, что там ещё сохраняются неплохие учебники вроде Виленкина с примкнувшими детьми и родственниками. Или уже их нет?
Знакомые, которые хорошие репетиторы, учат детей алгебре по двухтомнику, который написали муж и жена Кочетковы давно, последний учебник вообще, написанный реальными учителями. Жаль сам его немного уже не застал в школе, попал учиться уже на бредового Колмогорова. Про геометрию, что есть сейчас, не знаю.

[Mihr]

novichok2018 в сообщении #1556550 писал(а):

прибыльный бизнес для псевдоавторов и издателей

Атанасян, по-вашему, - псевдоавтор? Смелое заявление. Хотя, конечно, вы имеете право на любые личные оценки.
Однако вот это заявление

novichok2018 в сообщении #1556550 писал(а):

это не настоящая геометрия, это армянская геометрия

- это уже на грани. Хотелось бы, чтобы вы думали прежде чем отправлять подобные сообщения.

-- 06.06.2022, 09:06 --

novichok2018 в сообщении #1556550 писал(а):

бредового Колмогорова

И это тоже... чрезмерно сказано. Эмоции эмоциями, но за языком следите, пожалуйста.