Освоение математики фундаментально и для практики

[Burunduka]

Здравствуйте, форумчане! Читал некоторые статьи по данной теме - почерпнул достаточно много интересного, но все же не нашёл ответа на свой вопрос, поэтому создаю тему.
Я пока что не приступил к изучению высшей математики и остальных подобных разделов и именно сейчас выбираю литературу и то, с чего начать. Суть в том, что мне математика нужна для 2 вещей - фундаментального понимания с целью создания философской системы в голове; второе - для использования в прикладных разделах - инженерные дисциплины, физика и т.д. Во обоих случаях, в особенности в фундаментальеом освоении, сторонник формального доказательства, основанного чисто на законах логики и определённых правилах. (Логика в процессе изучения)
Начитавшись большого количества статей, Википедии и другого добра, которым полон интернет, я не смог составить полноценного мнения - как начать и продолжить, преследуя одновременно именно эти 2 цели при чем так, чтобы не потратить время впустую. (Это и есть главный вопрос) Поскольку я не нашёл объективного деления математики на разделы, то в начале решил просто изучать подряд все разделы, начиная с математического анализа, но потом понял, что таким образом я не достигну цели или же потрачу такое количество времени, за которое мог бы сделать намного больше, владея информацией. Поэтому я решил обратиться к более опытным людям, знакомым со всем этим объёмом знаний.
Точно такая же история и с физикой, но по тому, что я новичок на форуме и не знаю, можно ли задавать такой вопрос в этом разделе, то я ограничусь его упоминанием.
Заранее огромное спасибо за ответ!

[demolishka]

Что такое "фундаментальное понимание с целью создания философской системы в голове"? Вопрос появился после этого

Burunduka в сообщении #1555897 писал(а):

в особенности в фундаментальеом освоении, сторонник формального доказательства, основанного чисто на законах логики и определённых правилах

Дело в том, что не только с точки зрения философии, но и даже банальной практики (и инженерной, и математической) математика никакого отношения к "формальным доказательствам, основанным чисто на законах логики и определённых правилах" не имеет. Конечно, наличие разного рода извращенцев, занимающихся подобным и, как правило, плохо заканчивающих, может сбить с толку - но только наивного обывателя.

А по делу вот что могу сказать. Вы ничего про математику не знаете, но желаете знать много и даже имеете извращенные представления или иллюзии об этом, что конечно вредно. Знаете, были у меня девушки, которые от влюбленности решили изучать математику. Довольно быстро это желание проходило (вместе с влюбленностью ). Так что Вы начните хоть с чего-нибудь, а там через лет пять поговорим. Без поступления в профильный ВУЗ Вы, вероятно, не осилите и анализа первого семестра. И в этом вся проблема, так как начать серьезно что-либо изучать всегда тяжелее всего.

[Burunduka]

demolishka
С тем, что я назвал формальными доказательствами я сглупил)
Но разве чистая математика не как инструмент, а как самостоятельная наука не построена в результате на философии (или аксиомах, как угодно) и логике? И, как я понимаю, в то же время, когда она используется, как инструмент, этому уделяется мало внимания.

[mihaild]

Burunduka в сообщении #1555955 писал(а):

Но разве чистая математика не как инструмент, а как самостоятельная наука не построена в результате на философии (или аксиомах, как угодно) и логике?

На философии - точно нет. На аксиомах и правилах вывода - и да, и нет, но скорее нет.
Все верят, что все нужные рассуждения можно полностью формализовать, и чисто синтаксически дойти от формул - аксиом ZFC до какой-нибудь ВТФ. Практически этим никто не занимается, кроме небольшого числа очень узких областей (ну и людей, занимающихся автоматическими системами доказательств, но это уже на треть программирование, а не математика). И запись сколь-нибудь сложных результатов честно формально помогает их понять не больше, чем просмотр коэффициентов из jpeg файла - определить породу сфотографированного кота.

Я бы советовал начать с учебника мат. анализа (я очень люблю "Основы математического анализа" Рудина, но многие считают их слишком сухими и сжатыми) или алгебры (тут мне нравится Винберг, "Курс алгебры"), чтобы получить представление, как примерно выглядит "типичная" математика (не какие-то странные заморочки с основаниями). Скорее всего на нём вы и застрянете, но если нет - сможете гораздо лучше понять, что вам собственно нужно.

[Burunduka]

mihaild
То есть по сути Вы считаете, что невозможно и не нужно пытаться понять математику на каком-то философском уровне, а нужно просто использовать её для определённых целей - правильный вывод?
На счёт учебников - посмотрел, Винберга все хвалят. Про Рудина, как Вы и сказали - разные мнения, (посмотрел на форуме, недопонял). Поэтому вопрос- его можно будет изучить и понять тому, кто с анализом до этого не работал?

[demolishka]

Burunduka в сообщении #1555955 писал(а):

философии (или аксиомах, как угодно) и логике

Не "как угодно". Это совсем разные вещи. Логика и аксиомы (в самом общем виде) лишь средство познания.

Философия в самом общем виде занимается вопросами об истоках мысли. В нашем случае это вопрос об основаниях той или иной науки. Основания всегда лежат за пределами. На такие вопросы как "откуда берутся математические теоремы?", "откуда берутся математические доказательства?", "что доказывают математические доказательства?", "что описывают математические теоремы?", "почему математика эффективна как средство познания природы?" в рамках математических формул не ответишь.

Всякая наука когда-то отпочковалась от того или иного раздела философии. В течение последних столетий, начиная с нового времени, происходит губительная тенденция на забывание этих самых истоков. Отсюда размножение бессмысленных работ, симулирование "научной деятельности", полная метафизическая кастрация всего и вся и продуцирование материальной бессмысленности. Нам повезло и это время, слава Богу, заканчивается.

Burunduka в сообщении #1555955 писал(а):

этому уделяется мало внимания

Этому вообще не уделяется внимания в рамках образовательных программ. Вот - результат

mihaild в сообщении #1555960 писал(а):

На философии - точно нет

Должно быть, теоремы формулируются и доказываются сами по себе, появляются из ниоткуда и уходят в никуда. Раз оснований (философии) для этого нет.

[EminentVictorians]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1555960 писал(а):

(тут мне нравится Винберг, "Курс алгебры")

mihaild, а как Вы в принципе к алгебре относитесь? Я на данный момент прочитал чуть больше половины Винберга и скажу так, что отношение к алгебре у меня "сложное" Вот есть допустим тот же матанализ или ТФДП. Абсолютно понятный предмет изучения (функции одного и нескольких вещественных переменных), приятный самозамкнутый костяк определений и теорем. То же самое можно сказать о комплексном анализе (я его, когда учил, так и не понял толком, но по крайней мере с ним все понятно с идеологической точки зрения - там ясный предмет, крутые методы, хорошая общность и самозамкнутость - то что и ожидается от хорошей математической теории). И так можно сказать об очень многих разделах математики. Но вот на счет алгебры у меня впечатление не очень положительное. Да, мне например понравилась теория групп и линейная алгебра вокруг СЛАУ. Но в целом, алгебра оставила плохое впечатление. В первую очередь из-за ощущения случайности конструкций. Вот возьмем допустим историю с сопряженным пространством. Есть конечномерное векторное пространство $V(K)$ над полем $K$. Есть первое сопряженное векторное пространство $V^{*}$ линейных функций из $V$ в $K$. А потом рассматриваем второе сопряженное $V^{**}$ пространство, состоящее из линейных функций, определенных на пространстве линейных функций. Ну да, нулевое и второе там канонически изоморфны оказываются, но объективно: конструкция крайне навороченная и неочевидно, почему она вообще интересна. И так по ощущениям с каждой второй конструкцией. Если в матанализе теоремы переплетаются друг с другом, создают красивое дерево взаимозависимостей и связей, то алгебра кажется просто сборной солянкой разных малосвязанных разделов с неочевидной полезностью. Мнение других участников мне тоже было бы интересно. Именно с точки зрения отношения к алгебре.

[Burunduka]

demolishka
Не согласен - мы можем выбирать аксиомы, дабы получить некоторые нужные нам выводы, исходя из философского течения, которому мы сознательно или несознательно следуем.
Согласен с тем, что это забывают - в математике я вообще не в состоянии что-то сказать, но в некоторых других науках очень чувствуется, особенно в биологии, химии (в физике тоже не могу сказать, только обрывки знаю). Поэтому с недавних пор начал копаться в трудах тех учёных, которые изначально придумали современные (или те, на чем построены современные) теории. Интересно то, что иногда можно найти совсем иную, непризнанную теорию, которая намного лучше соотносится с собственными взглядами и убеждениями.

demolishka в сообщении #1555964 писал(а):

Этому вообще не уделяется внимания в рамках образовательных программ. Вот - результат

Как Вы считаете нужно преподавать математику, чтобы это не было пробелом?

[mihaild]

Burunduka в сообщении #1555972 писал(а):

Поэтому вопрос- его можно будет изучить и понять тому, кто с анализом до этого не работал?

Предварительных знаний, кроме школьной программы, Рудин не требует. Требует некоторой усидчивости и, возможно, привычки или хотя бы готовности к довольно формальному мышлению. Но в любом случае с ним вам на форуме точно будут рады помочь разобраться)

demolishka в сообщении #1555973 писал(а):

Должно быть, теоремы формулируются доказываются сами по себе, появляются из ниоткуда и уходят в никуда. Раз оснований (философии) для этого нет.

Теоремы, очевидно, формулируются и доказываются математиками. Применимость понятия "откуда появляются" к теоремам еще надо показать (и я бы предположил, что неприменимо).

(Оффтоп)

EminentVictorians в сообщении #1555979 писал(а):

а как Вы в принципе к алгебре относитесь?

ИМХО алгебра, как и матанализ, интересна в первую очередь аппаратом для других разделов. Есть очень много самых разнообразных разделов, где полезны векторные пространства над самыми разными полями, иногда с дополнительными структурами (вроде топологии или нормы). И интересно, что и про векторные пространства сами по себе можно сказать довольно много.
Сопряженное пространство интересно тем, что для него почти ничего не нужно, оно работает "непосредственно" с векторным пространством - и, например, не зависит от базиса. Бескоординатные методы - штука полезная, в том же мат. анализе нужно тщательно доказывать, что градиент как вектор не зависит от выбора базиса. А если мы изначально работаем бескоординатными методами (как в изоморфизме пространства со вторым сопряженным), то в независимости от базиса мы можем быть уверены.

[Burunduka]

mihaild
Посмотрел, даже школьной не нужно) почти все с азов разбирается . Сразу видно, что все очень кратко и сжатого - в каком-то смысле хорошо.
Как считаете, имеет ли смысл из Зорича взять первые 2 главы (общие мат понятия) параллельно с первыми главами Рудина и позже продолжить изучать только второго? Потому что даже беглым взглядом мне показалось, что общие понятия в Рудине изложены слишком кратко и предполагают их повторение, а не изучение.

-- 31.05.2022, 21:04 --

В 1953 году Рудин женился на математике Мари Эстилл[en].Они жили в Мадисоне (Висконсин) в одноименном доме Уолтера Рудина, спроектированном архитектором Фрэнком Райтом. (Википедия)


Да, похоже и вправду женился на математике

[demolishka]

Burunduka в сообщении #1555986 писал(а):

Не согласен - мы можем выбирать аксиомы, дабы получить некоторые нужные нам выводы, исходя из философского течения, которому мы сознательно или несознательно следуем.

Это и есть средство философствования. Но философия не только из этого состоит.

(Оффтоп)

Burunduka в сообщении #1555986 писал(а):

Как Вы считаете нужно преподавать математику, чтобы это не было пробелом?

Это будет долгий разговор и оффтоп.

mihaild в сообщении #1555991 писал(а):

Теоремы, очевидно, формулируются и доказываются математиками

Тоже беспричинно (как и, видимо, появляются математики)? Замечу, что на вопрос: "Почему яблоко падает?" Вы отвечаете: "Кто-то его бросил." Но это не ответ на вопрос.

mihaild в сообщении #1555991 писал(а):

Применимость понятия "откуда появляются" к теоремам еще надо показать (и я бы предположил, что неприменимо).

Конечно надо показать. Особенно показать тому, кто сидит и ждет пока ему кто-то покажет. Осмысленность всякого движения познается в личном сознательном опыте. А когда всю жизнь изучаешь чужое наследие (пусть в чем-то и лучше всех, получая разного рода премии и награды), да еще пропущенные через глухой телефон поколений, растрачивающий все смыслы, то только "доказательств" и можно требовать. Вас даже сама формулировка Вашего утверждения не смущает. Показывают или доказывают исходя из природы вещей (их сути), но наличие этой природы и есть осмысленность (суть) вещи.

[mihaild]

Burunduka в сообщении #1556004 писал(а):

Как считаете, имеет ли смысл из Зорича взять первые 2 главы (общие мат понятия) параллельно с первыми главами Рудина и позже продолжить изучать только второго?

Лично мне не нравится изучать предмет по нескольким учебникам параллельно, но многим это подходит. В целом вреда от чтения первых глав Зорича точно не будет:)

(Оффтоп)

Burunduka в сообщении #1556004 писал(а):

Да, похоже и вправду женился на математике

А что, плохо звучит? (это я переводил, тапки кидать в меня)

(demolishka)

Мне кажется, вы говорите что-то очень странное, но сильно подозреваю, что ТС обсуждение этого всё равно не поможет.

[пианист]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1555960 писал(а):

Все верят, что все нужные рассуждения можно полностью формализовать, и чисто синтаксически дойти от формул - аксиом ZFC до какой-нибудь ВТФ

Есть те, кто в этом сомневается.

[mihaild]

(Оффтоп)

пианист в сообщении #1556046 писал(а):

Есть те, кто в этом сомневается.

А можно пример?
(Арнольд сомневался в полезности такой формализации, а не в её возможности)

[пианист]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1556066 писал(а):

А можно пример?

sowa@lj
Была большая дискуссия в рамках обсуждения его поста про алгебры Калкина https://sowa.livejournal.com/92839.html
Началась с замечания https://sowa.livejournal.com/92839.html?thread=3489959
Заранее предупреждаю: много букв.