Найти такой предел: a(n)= n*(n+1)*ln(n+1/n)-n

[Lyubushca]

Помогите найти такой предел: $a(n)= n(n+1)\ln(n+1/n)-n$ , я знаю, что он равен 1/2, но не знаю, как это доказать!

[маткиб]

Ну например, воспользуемся разложением ln(x+1)=x-x^2/2+O(x^3). Тогда a(n)=n*(n+1)*ln((n+1)/n)-n = n*(n+1)*(1/n-1/(2*n^2)+O(1/n^3))-n = (n+1)-1/2-1/(2*n)-n+O(1/n)=1/2+O(1/n).
Таким образом, lim a(n)=1/2

[Lyubushca]

ln(x+1)=x-x^2/2+O(x^3). а как это получается???

[маткиб]

Разложение Тэйлора (или как там его):
f(x)=f(x0)+f[1](x0)*(x-x0)/1!+...+f[n](x0)*(x-x0)^n/n!+O((x-x0)^(n+1)),
здесь f[i] - i-ая производная f
n! = 1*2*...*n - факториал n
Не помню, при каких условиях оно работает, но если f дифференцируема сколько угодно раз в некоторой окрестности x0, то точно работает.
Подставим f(x)=ln(x), x0=1, тогда
f[1](x)=1/x, f[1](x0)=1, f[2](x)=-1/x^2, f[2](1)=-1, получаем нужное разложение.

[Lyubushca]

к сожалению мы этого ещё не проходили! Я с мехмата Мгу 1 курс!

[cepesh]

Я не понял, вы какую задачу-то решаете?
В условии

$$\lim\limits_{n \to \infty} {n(n+1)\ln\left(n+\frac1n\right)-n = ?}$$

.
А помогают решить

$$\lim\limits_{n \to \infty} {n(n+1)\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)-n = ?}$$

.

[Lyubushca]

Просто требуется найти предел: lim n(n+1)ln(1+1/n)-n при n стремящ к бесконечности!( элементарными методами, без использования правила Лопиталя или формулы разложения Тэйлора!

[cepesh]

Lyubushca писал(а):

Просто требуется найти предел: lim n(n+1)ln(1+1/n)-n при n стремящ к бесконечности!( элементарными методами, без использования правила Лопиталя или формулы разложения Тэйлора!

А у Вас в условии написано

a(n)= n*(n+1)*ln(n+1/n)-n

Поправьте.

[cepesh]

$$\lim\limits_{n \to \infty} {n(n+1)\ln\left(1 + \frac1n\right)-n = \lim\limits_{n \to \infty} {(n+1)\ln\left(1 + \frac1n\right)^n-n} = 1$$

.
Надеюсь, почему $\lim\limits_{n \to \infty} {\ln \left(1 + \frac1n\right)^n} = 1$ понятно.

[маткиб]

to cepesh:
Из того, что lim x(n)=1 совсем не следует, что
lim (n+1)*x(n)-n=1. Сами подумайте, почему.
А ответ в этой задаче всё-таки 1/2, а не 1.