Частное с равномерно непрерывной функцией

[EminentVictorians]

Пусть есть две дифференцируемые функции $f$ и $g$, определенные на интервале $(a, b)$, причем $g$ равномерно непрерывна на этом интервале. И пусть одна из них (которая будет в знаменателе) не равна нулю при любом значении аргумента из этого интервала (чтобы была корректно определена дробь). Можно ли сказать что-нибудь содержательное о частном $\frac{f}{g}$ или $\frac{g}{f}$? Под "содержательным" я понимаю практически что угодно. Например, может быть будет существовать предел частного в какой нибудь крайней точке интервала. Может быть будет ограниченная производная какого-нибудь частного. Или может быть само частное будет ограничено. В общем, любые факты приветствуются.

[svv]

EminentVictorians в сообщении #1555667 писал(а):

Можно ли сказать что-нибудь содержательное о частном $\frac{f}{g}$ или $\frac{g}{f}$?

Вряд ли, потому что частное может быть «гораздо хуже», чем каждая из функций. Например, проверьте все Ваши гипотезы для $f(x)=1,\;g(x)=1-x^2,\;h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ на $(-1,1)$.

[EminentVictorians]

svv в сообщении #1555669 писал(а):

Вряд ли, потому что частное может быть «гораздо хуже», чем каждая из функций.

А если обе равномерно непрерывные на $(a, b)$? (я понимаю, что обе функции из Вашего примера подходят, просто вдруг что-нибудь есть)

И я немного не точно написал в стартовом посте. Под ограниченностью я понимал ограниченность на интервале. Т.е. например производная функции $\frac{g}{f}$ из Вашего примера будет ограничена на интервале. (но в общем случае это не так: достаточно взять равномерно непрерывную функцию с неограниченной на интервале производной и поделить ее на тождественно единичную)

Можно вопрос иначе поставить. Есть 2 равномерно непрерывные и дифференцируемые на $(a, b)$ функции $f$ и $g$, $g(x) \ne 0 \forall x \in (a,b)$. Какие условия надо наложить на эти функции, чтобы производная $(\frac{f}{g})'$ их частного была ограничена?

[svv]

EminentVictorians в сообщении #1555732 писал(а):

Есть 2 равномерно непрерывные и дифференцируемые на $(a, b)$ функции $f$ и $g$, $g(x) \ne 0 \forall x \in (a,b)$. Какие условия надо наложить на эти функции, чтобы производная $(\frac{f}{g})'$ их частного была ограничена?

Раз на интервале $(a,b)$ функции $f,g$ дифференцируемы и $g(x)\neq 0$, то в любой точке интервала $\left (\frac f g\right )'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$.
Отсюда видно, что надо дополнительно потребовать для ограниченности производной частного:
$\bullet$ ограниченность $f'$, $g'$;
$\bullet$ ограниченность $1/g$.
Ограниченности самих функций $f,g$ требовать не нужно, для конечного интервала она следует из их равномерной непрерывности.
Понятно, что все эти условия (в совокупности с Вашими) достаточны, но не необходимы для ограниченности $\left (\frac f g\right )'$ (рассмотрите случай $f=g$).