Теория чисел

[bleachhhhh]

Доброго времени суток! Возник довольно простой вопрос в ходе решения одной из задач.
Мы знаем что если число А делится на число М и число В делится на число М, то сумма А+В тоже делится на М, как известно в обратную сторону это не работает, например 5+7 делится на 6 , но , ни 5 , ни 7 на 6 не делятся
И у меня возникает вопрос, можно ли утверждать, что если сумма А+В и произведение А*В делятся на М, то каждое из чисел А и В будут делиться на М? Моё доказательство меня не убедило, поэтому хотелось бы узнать у вас, верно моё предположение или нет.

[nnosipov]

bleachhhhh в сообщении #1555703 писал(а):

можно ли утверждать, что если сумма А+В и произведение А*В делятся на М, то каждое из чисел А и В будут делиться на М?

В общем случае, т.е. для произвольных целых чисел $A$, $B$ и $M$, это утверждение неверно (приведите контрпример), однако для некоторых чисел $M$ (для каких?) оно верно.

[bleachhhhh]

Спасибо за ответ! Контрпример довольно быстро пришёл в голову, 3 и 6 , сумма и произведение на 9 делятся, но ни 3 ни 6 не делятся
Но для каких именно М это верно, пока не могу догадаться

[svv]

bleachhhhh в сообщении #1555718 писал(а):

Но для каких именно М это верно, пока не могу догадаться

Тогда ответьте на простые вопросы.
Пусть $AB$ делится на $6$. Можно ли утверждать, что хотя бы одно из чисел $A, B$ делится на $6$?
Пусть $AB$ делится на $7$. Можно ли утверждать, что хотя бы одно из чисел $A, B$ делится на $7$?

bleachhhhh, пожалуйста, записывайте формулы, даже отдельные переменные, с помощью $\TeX$. В ваших простых случаях достаточно каждую формулу окружить двумя знаками доллара: пишете $A+B$, получаете $A+B$. В более сложных случаях см. здесь.

[kotenok gav]

$A^2=(A+B)\times A-(A\times B)$ и $B^2=(A+B)\times B-(A\times B)$.