кватернионное уравнение

[ShMaxG]

Помогите решить кватернионное уравнение:

\[ X \circ \Lambda ^2 = \Lambda \circ X^2 \]

.

Если

\[ \begin{gathered} \Lambda = \left( {a_0 ,u} \right) \hfill \\ X = \left( {x_0 ,x} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]

, где

\[ {a_0 } \]

и

\[ {x_0 } \]

- скалярные части кватернионов и

\[ u \]

и

\[ x \]

- векторные части кватернионов.

Я прихожу к таким уравнениям:

\[ \left\{ \begin{gathered} a_0 x_0 \left( {x_0 - a_0 } \right) - 2\left( {u,x} \right)\left( {x_0 - a_0 } \right) - \left( {a_0 x^2 - x_0 u^2 } \right) = 0 \hfill \\ 2a_0 x_0 \left( {x - u} \right) + ux_0^2 - xa_0^2 - \left( {ux^2 - xu^2 } \right) + 2\left[ {u,x} \right]\left( {x_0 + a_0 } \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \]

[Dimoniada]

Попробуйте представить кватернион X в тригонометрическом виде (и даже как экспоненту в векторной степени! - для более короткой записи =*)

[ShMaxG]

\[ \begin{gathered} X = \left( {\cos x + i_x \sin x} \right) \hfill \\ \Lambda = \left( {\cos a + i_a \sin a} \right) \hfill \\ X\Lambda ^2 = \Lambda X^2 \hfill \\ e^{i_x x} e^{2i_a a} = e^{i_a a} e^{2i_x x} \hfill \\ i_x x + 2i_a a = i_a a + 2i_x x \hfill \\ i_x x = i_a a \hfill \\ e^{i_x x} = e^{i_a a} \hfill \\ X = \Lambda \hfill \\ \end{gathered} \]

Добавлено спустя 36 минут 29 секунд:

Правильно?

[ShMaxG]

Ответьте, пожалуйста, правильные ли выкладки с кватернионами я проделал, мне просто задание сдавать и точно знать нужно. Дело в том, что приведение кватерниона к экспоненте я нигде не встречал и про это нам не говорили.

[Mousy]

Ответ почти правильный (насколько я помню), ещё решение X=0 есть. С экспонентой проблемы. Во-первых, так как умножение кватернионов не коммутативно, то и произведение экспонент не равно экспоненте суммы. Есть формула Хаусдорфа для перестановки экспонент, но она сложна и вряд ли здесь поможет. Кроме того, логарифм для кватернионов в такой записи будет неоднозначен, достаточно вспомнить комплексный логарифм, имеющий бесконечно много значений в каждой точке (кроме 0). Так что неправильное решение даёт правильный ответ Бывает.

Лучше обратитесь к своим первым уравнениям. Случай параллельных векторных частей тривиален, тогда всё коммутирует. Если векторные части не параллельны, то уравнения разлагаются на несколько, для компоненты вдоль каждого вектора. Должно помочь.

[ShMaxG]

В общем, у меня получилось даже так. Если

\[ u \]

и

\[ x \]

линейно независимы, то не выполняется второе уравнение моей системы. А если они линейно зависимы, следовательно

\[ X \]

и

\[ \Lambda \]

коммутируют.

Всем спасибо!