Решения уравнения 3x^2 - 2y^2 =1 в целых числах

[EUgeneUS]

Решения уравнения $3x^2 - 2y^2=1$ в целых числах.
Частично приведены собственные попытки ответа на вопросы.

1. Существуют ли решения?
Да, существуют. Пример $9, 11$.

2. Решений конечно или бесконечно?
Бесконечно. Заметил, что уравнение похоже на уравнение Пелля, и предположил, что так же будет бесконечная серия решений. Проверил в ВольфрамАльфа - так и есть.
3. Вывод рекуррентной формулы для решений.
Тут меня не хватило . Прошу помочь...

[nnosipov]

EUgeneUS в сообщении #1555385 писал(а):

Прошу помочь...

Вас интересует именно сам вывод (доказательство полноты предъявленных рекуррентных формул) или достаточно знать правильный ответ?

Upd. Нашел у себя формулу для решений уравнения $(Q+1)u^2-Qv^2=1$ для произвольного натурального $Q$. Так что могу обрадовать: ответ имеет наиболее простую возможную форму.

[Shadow]

EUgeneUS в сообщении #1555385 писал(а):

Прошу помочь...

Если $(x,y)$ является решением уравнения, то решением является и $(5x+4y,6x+5y)$

[EUgeneUS]

Shadow
Спасибо!

nnosipov
Вопрос связан с рассмотрением одного особо тяжелого случая в соседней теме про $M(2pq) \le 3$
Поэтому пока достаточно ответа.
Если из него удастся что-то вытянуть, тогда нужно будет или мне разобраться с выводом и доказательством полноты, или ссылку на печатный источник...

[nnosipov]

Ответ в виде явной формулы: $x\sqrt{3}+y\sqrt{2}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^k$, где $k$ --- нечетное натуральное число. Эта формула дает все решения уравнения $3x^2-2y^2=1$ в натуральных числах.

Не уверен, что это сильно поможет в дальнейших исследованиях. Обычно с такими формулами сложно работать, хотя бывают и приятные исключения. Разумеется, ответ можно записать и в виде рекуррентной формулы (см. выше).

[EUgeneUS]

nnosipov
спасибо!

рекуррентная формула помогла, кстати.

[EUgeneUS]

nnosipov
Shadow

А есть ли какие-то печатные работы, где приводится вывод и доказательство полноты для рекуррентных формул?

[Shadow]

EUgeneUSКонечно есть, только сейчас не вспоминаю. Данное решение (в натуральных числах) полное. Доказательство полноты несложное - рекурсия работает как "вверх", так и "вниз", т.е.
у нас есть последовательность решений $x_n$. Предположим, что существует решение $(x_k,y_k)$, которого нет в нашей последовательности решений, причем
$x_{n-1}<x_k<x_n$. Доказываем, что должно существовать решение $(x_{k-1},y_{k-1})$, причем $x_{n-2}<x_{k-1}<x_{n-1}$ и т.д., т.е должно существовать решение $1<x<9$
Ну а поскольку такого нет, проверили, значит и других решений нет.
Есть еще одна рекуррентная форма решений:

$x_n=10x_{n-1}-x_{n-2},\;\;y_n=10y_{n-1}-y_{n-2}$

[EUgeneUS]

Shadow
Спасибо!