Предел функции

[Vladimir Pliassov]

Dan B-Yallay в сообщении #1555357 писал(а):

А что понимается под максимальным или минимальным значением?

Цитата:

$x_{0}$ называется точкой локального максимума функции $f$, если существует проколотая окрестность ${\dot {U}}(x_{0})$ такая, что
$\forall x\in {\dot {U}}(x_{0})\quad f(x)\leqslant f(x_{0})$

Википедия

Arks в сообщении #1555359 писал(а):

Оба верны, если под точкой локального максимума понимать такую, для которой верно, что в любой малой окрестности все остальные значения функции не больше, чем в этой точке

Если считать, что несколько точек могут иметь один и тот же экстремум, то у функции Дирихле всего два экстремума. Если же каждая точка (имеющая экстремум) должна иметь свой экстремум (хотя и равный экстремумам других точек), то у функции Дирихле бесконечно много экстремумов.

[Dan B-Yallay]

Vladimir Pliassov Насчёт max-min всё верно.

Vladimir Pliassov в сообщении #1555361 писал(а):

Если считать, что несколько точек могут иметь один и тот же экстремум, то у функции Дирихле всего два экстремума. Если же каждая точка (имеющая экстремум) должна иметь свой экстремум (хотя и равный экстремумам других точек), то у функции Дирихле бесконечно много экстремумов.

Точки не могут "иметь" экстремум, но могут являться им (экстремумoм) для какой-либо функции.

[Vladimir Pliassov]

Dan B-Yallay в сообщении #1555362 писал(а):

Точки не могут "иметь" экстремум, но могут являться им (экстремумoм) для какой-либо функции.

Цитата:

Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Википедия

То есть есть точка $x_0$, а есть экстремум, который в этой точке, возможно, достигается, и который в таком случае обозначается как $f(x_0)$.

Вопрос в том, имеет функция Дирихле два экстремума или бесконечно много экстремумов.

[Otta]

Vladimir Pliassov в сообщении #1555364 писал(а):

Вопрос в том, имеет функция Дирихле два экстремума или бесконечно много экстремумов.

Экстремумы есть строгие. А есть нестрогие. Ответы разные.

[Vladimir Pliassov]

Otta в сообщении #1555365 писал(а):

Экстремумы есть строгие. А есть нестрогие. Ответы разные.

Цитата:

Если неравенства выше строгие, то $x_{0}$ называется точкой строгого локального или глобального максимума или минимума соответственно.

Википедия

Значит, в функции Дирихле ни одна точка не является точкой строгого максимума (минимума).

При этом каждая рациональная точка является точкой нестрогого максимума, а каждая иррациональная точка является точкой нестрогого минимума.

[Otta]

Так точно.

[Vladimir Pliassov]

Ура!

[bot]

Vladimir Pliassov в сообщении #1555339 писал(а):

Функция $\lim\limits_{x\to 0} x\sin\frac1x$ имеет предел в точке $x=0$ и не имеет значения в этой точке, то есть она разрывная?

Это верно, что функция $x\sin\frac1x$ разрывна в точке $a=0$, но пример не об этом:

Vladimir Pliassov в сообщении #1555304 писал(а):

точка $a$ не входит в область определения функции $f(x)$ (тогда и точка $A$ не будет входить в область значений функции $f(x)$)?

В этом примере $A=0$ является значением функции $f(x)=x\sin\frac1x$ в точках $\frac1{k\pi}, \, k\ne0$.

[Vladimir Pliassov]

bot в сообщении #1555412 писал(а):

В этом примере $A=0$ является значением функции $f(x)=x\sin\frac1x$ в точках $\frac1{k\pi}, \, k\ne0$.

Понял: то, что функция $f(x)$ не определена в точке $x=a,$ не значит, что $A$ не может являться значением $f(x)$ в другой точке.

bot в сообщении #1555412 писал(а):

Это верно, что функция $x\sin\frac1x$ разрывна в точке $a=0$, но пример не об этом

Наверное, он о том, что необходимым условием существования предела $A$ функции $f(x)$ в точке $a$ является попадание в произвольную $\varepsilon$-окрестность точки $A$ образов всех $x,$ не равных $a,$ из соответствующей $\delta$-окрестности точки $a$ .

[Потому что, если функция $f(x)$ имеет предел $A$ в точке $a$, то в произвольную $\varepsilon$-окрестность точки $A$ необходимо попадают образы всех $x,$ не равных $a,$ из соответствующей $\delta$-окрестности точки $a$.]

Это же условие является и достаточным, потому что, если в произвольную $\varepsilon$-окрестность точки $A$ попадают образы всех $x,$ не равных $a,$ из соответствующей $\delta$-окрестности точки $a,$ то функция $f(x)$ имеет предел $A$ в точке $a.$

При этом, если функция $f(x)$ непрерывна в точке $a$, то в $\varepsilon$-окрестность точки $A$ попадают образы всех без исключения $x$ из $\delta$-окрестности точки $a$ (в том числе и образ точки $x=a$).

Правильно?