Является ли оконная функция гладкой и что с её производной?

[Kevsh]

Оконные функции нужны в ЦОС, чтобы выделить нужные гармоники после того, как сделали ДПФ (как я понял). Вопрос: какие требования накладываются на эту оконную функцию? Должная ли её производная быть непрерывной? Должна ли она быть гладкой? Просто вроде похоже на то, но для самого простого (прямоугольного) окна это не выполняется.

[ihq.pl]

Kevsh в сообщении #1554864 писал(а):

Оконные функции нужны в ЦОС, чтобы выделить нужные гармоники после того, как сделали ДПФ (как я понял). Вопрос: какие требования накладываются на эту оконную функцию? Должная ли её производная быть непрерывной? Должна ли она быть гладкой? Просто вроде похоже на то, но для самого простого (прямоугольного) окна это не выполняется.

Подозреваю, ф-ю $\mathbf{1}_{[a,b]}(x)$ вы называете окном. А это не так. Под окном в анализе подразумевается прямоугольник на плоскости $x\omega$ ($\omega$ - частота), на котором сосредоточена "энергия" ф-ии . Функция-окно должна быть гладкой вместе со своими производными, либо всеми, либо до какого-то порядка. В противном случае, вместо окна рискуем получить полосу, параллельную оси $\omega$
Посмотрите теорему о связи гладкости ф-ии со скоростью убывания её преобразования Фурье.

[Евгений Машеров]

Если имеется в виду windowing (tapering) в ЦОС, то накладываются окна до Фурье. Цель использования непрямоугольных окон - избежать неприятностей из-за разрыва на краях преобразуемого отрезка сигнала. Сигнал как бы закручивается, начало стыкуется с его концом и разрыв порождает ложные пики на различных частотах. Разрыв обусловлен тем, что в реальном сигнале могут присутствовать частотные компоненты, период которых в длину отрезка целое число раз не укладывается. В результате для этих компонентов мы увидим пики не только на ближайших к данной частоте зубцах "гребёнки частот", но и множество ложных. Окно, спадающее к нулю к краям отрезка, этот разрыв убирает, но плата за это - уширение реального пика. Ещё лучше сделать и производную непрерывной, и ещё сильнее потеря разрешения по частоте. То есть всегда компромисс, и выразить требования в простом виде "гладкости", "непрерывности" и т.п. не удаётся.
https://en.wikipedia.org/wiki/Window_function