2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача на комбинаторное решето
Сообщение16.05.2022, 16:26 


23/02/12
3112
Уважаемые участники форума помогите разобраться!

Пусть $A$ - конечное множество натуральных чисел;
$P(y)=\prod\limits_{p \leq y}p$,
где $p$ - простое число;
$S(A,P,y)=card\{a \in A:(a,P(y))=1\}$; $u=\ln(x)/\ln(y)$.

Лемма о комбинаторном решете

Предположим, что существует мультипликативная функция $\omega \geq 0$, вещественное число $X$ и положительные постоянные:$k,b$, такие что:

(a) $A_d=X\omega(d)/d+R_d$ , где $(d|P(y))$;

(b) $\prod\limits_{\delta \leq p \leq \epsilon} (1-\omega(p)/p)^{-1} <(\ln(\epsilon)/\ln(\delta))^k(1+b/\ln(\delta))$,
где $(2 \leq \delta \leq \epsilon)$.

Тогда равномерно по $b,X,y$ и $u \geq 1$ выполняется:

$S(A,P,y)=X\prod\limits_{p \leq y}(1-\omega(p)/p)\{1+O(u^{-u/2})\}+O(\sum\limits_{d \leq y^u,d|P(y)}|R_d|)$.

Задача

Используя лемму о комбинаторном решете показать, что количество простых чисел $p \leq x$ вида $p=n^2+1$ удовлетворяет условию:

$$S(x)<<\sqrt {x}\prod\limits_{p \leq x,p \in 4t+1} (1-2/p),(1)$$

где $t=1,2,...$.

Уточнить указанную оценку, используя:

$$\sum\limits_{p \leq x,p \in 4t+1}1/p=0,5\ln\ln(x)+O(1).(2)$$

Меня смущает вот что.

На основании гипотезы Бейтмана Хорна асимптотическая оценка количества простых чисел $p \leq x$ вида $p=n^2+1$ равна:

$$S(x) \sim 0,686...x/\ln(x).(3)$$

Оценка (3) не соответствует оценке (1).

Думал, что дело в произведении, зависящем от $x$.

Однако, даже, если оценить произведение и уточнить оценку (1) с учетом (2), то получится:

$$S(x) << C\sqrt {x}\ln(x),(4)$$

где $C$ - постоянная, но оценка (4) опять не соответствует (3).

Может быть ошибка в условии задачи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на комбинаторное решето
Сообщение16.05.2022, 18:44 


20/03/14
12041
Пожалуйста, приведите формулы в читабельный вид.
Логарифмоподобные функции наберите, как полагается, напр., \ln x, сделайте часть формул выключными, чтобы иметь возможность снести пределы суммирования вниз и внятно их набрать, ну и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение16.05.2022, 18:45 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

См. выше.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение17.05.2022, 02:55 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на комбинаторное решето
Сообщение17.05.2022, 14:42 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
vicvolf в сообщении #1554734 писал(а):
На основании гипотезы Бейтмана Хорна асимптотическая оценка количества простых чисел $p \leq x$ вида $p=n^2+1$ равна:

$$S(x) \sim 0,686...x/\ln(x).(3)$$

Что-то здесь не так, потому что очевидно $S(x)<\sqrt {x}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на комбинаторное решето
Сообщение17.05.2022, 16:27 


23/02/12
3112
mihiv в сообщении #1554833 писал(а):
Что-то здесь не так, потому что очевидно $S(x)<\sqrt {x}$.
Поясните, пожалуйста, почему это очевидно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на комбинаторное решето
Сообщение17.05.2022, 16:38 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Если $n>\sqrt {x}$, то $p=n^2+1>x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на комбинаторное решето
Сообщение17.05.2022, 17:42 


23/02/12
3112
mihiv в сообщении #1554844 писал(а):
Если $n>\sqrt {x}$, то $p=n^2+1>x$.
$p=n^2+1$ - означает только, что выбираются простые данного вида. Далеко не для всех $n$ это выполняется. Например, не выполняется для $n=3,5,7,8,9,..$.

А вот гипотеза Бейтмана-Хорна https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0 ... 0%BD%D0%B0

В асимптотике количества простых $P(x)$ для полинома $n^2+1$ надо подставить $m=1,D=2$, так как полином один, второй степени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на комбинаторное решето
Сообщение19.05.2022, 17:38 


23/02/12
3112
vicvolf в сообщении #1554734 писал(а):
Задача

Используя лемму о комбинаторном решете показать, что количество простых чисел $p \leq x$ вида $p=n^2+1$ удовлетворяет условию:

$$S(x)<<\sqrt {x}\prod\limits_{p \leq x,p \in 4t+1} (1-2/p),(1)$$

где $t=1,2,...$.
Я думаю, что дело в не совсем корректной формулировке задачи.

Рассмотрим множество $\{n \leq x: n^2+1 \in P\}$, где $P$ - множество простых чисел.

При $x=10$ данное множество содержит члены: $1,2,4,6,10$.

Асимптотика количества членов данного множества равна: $card \{n \leq x: n^2+1 \in P\} \sim cx/\ln(x)$.

Рассмотрим другое множество $\{n \leq \sqrt{x}: n^2+1 \in P\}$.

При $x=10$ данное множество содержит члены: $1,2$.

Асимптотика количества членов данного множества равна: $card \{n \leq \sqrt{x}: n^2+1 \in P\} \sim 2c\sqrt{x}/\ln(x)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: tolstopuz, Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group