Задача на комбинаторное решето

[vicvolf]

Уважаемые участники форума помогите разобраться!

Пусть $A$ - конечное множество натуральных чисел;
$P(y)=\prod\limits_{p \leq y}p$,
где $p$ - простое число;
$S(A,P,y)=card\{a \in A:(a,P(y))=1\}$; $u=\ln(x)/\ln(y)$.

Лемма о комбинаторном решете

Предположим, что существует мультипликативная функция $\omega \geq 0$, вещественное число $X$ и положительные постоянные:$k,b$, такие что:

(a) $A_d=X\omega(d)/d+R_d$ , где $(d|P(y))$;

(b) $\prod\limits_{\delta \leq p \leq \epsilon} (1-\omega(p)/p)^{-1} <(\ln(\epsilon)/\ln(\delta))^k(1+b/\ln(\delta))$,
где $(2 \leq \delta \leq \epsilon)$.

Тогда равномерно по $b,X,y$ и $u \geq 1$ выполняется:

$S(A,P,y)=X\prod\limits_{p \leq y}(1-\omega(p)/p)\{1+O(u^{-u/2})\}+O(\sum\limits_{d \leq y^u,d|P(y)}|R_d|)$.

Задача

Используя лемму о комбинаторном решете показать, что количество простых чисел $p \leq x$ вида $p=n^2+1$ удовлетворяет условию:

$$S(x)<<\sqrt {x}\prod\limits_{p \leq x,p \in 4t+1} (1-2/p),(1)$$

где $t=1,2,...$.

Уточнить указанную оценку, используя:

$$\sum\limits_{p \leq x,p \in 4t+1}1/p=0,5\ln\ln(x)+O(1).(2)$$

Меня смущает вот что.

На основании гипотезы Бейтмана Хорна асимптотическая оценка количества простых чисел $p \leq x$ вида $p=n^2+1$ равна:

$$S(x) \sim 0,686...x/\ln(x).(3)$$

Оценка (3) не соответствует оценке (1).

Думал, что дело в произведении, зависящем от $x$.

Однако, даже, если оценить произведение и уточнить оценку (1) с учетом (2), то получится:

$$S(x) << C\sqrt {x}\ln(x),(4)$$

где $C$ - постоянная, но оценка (4) опять не соответствует (3).

Может быть ошибка в условии задачи?

[Lia]

Пожалуйста, приведите формулы в читабельный вид.
Логарифмоподобные функции наберите, как полагается, напр., \ln x, сделайте часть формул выключными, чтобы иметь возможность снести пределы суммирования вниз и внятно их набрать, ну и т.д.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

См. выше.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[mihiv]

vicvolf в сообщении #1554734 писал(а):

На основании гипотезы Бейтмана Хорна асимптотическая оценка количества простых чисел $p \leq x$ вида $p=n^2+1$ равна:

$$S(x) \sim 0,686...x/\ln(x).(3)$$

Что-то здесь не так, потому что очевидно $S(x)<\sqrt {x}$.

[vicvolf]

mihiv в сообщении #1554833 писал(а):

Что-то здесь не так, потому что очевидно $S(x)<\sqrt {x}$.

Поясните, пожалуйста, почему это очевидно?

[mihiv]

Если $n>\sqrt {x}$, то $p=n^2+1>x$.

[vicvolf]

mihiv в сообщении #1554844 писал(а):

Если $n>\sqrt {x}$, то $p=n^2+1>x$.

$p=n^2+1$ - означает только, что выбираются простые данного вида. Далеко не для всех $n$ это выполняется. Например, не выполняется для $n=3,5,7,8,9,..$.

А вот гипотеза Бейтмана-Хорна https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0 ... 0%BD%D0%B0

В асимптотике количества простых $P(x)$ для полинома $n^2+1$ надо подставить $m=1,D=2$, так как полином один, второй степени.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1554734 писал(а):

Задача

Используя лемму о комбинаторном решете показать, что количество простых чисел $p \leq x$ вида $p=n^2+1$ удовлетворяет условию:

$$S(x)<<\sqrt {x}\prod\limits_{p \leq x,p \in 4t+1} (1-2/p),(1)$$

где $t=1,2,...$.

Я думаю, что дело в не совсем корректной формулировке задачи.

Рассмотрим множество $\{n \leq x: n^2+1 \in P\}$, где $P$ - множество простых чисел.

При $x=10$ данное множество содержит члены: $1,2,4,6,10$.

Асимптотика количества членов данного множества равна: $card \{n \leq x: n^2+1 \in P\} \sim cx/\ln(x)$.

Рассмотрим другое множество $\{n \leq \sqrt{x}: n^2+1 \in P\}$.

При $x=10$ данное множество содержит члены: $1,2$.

Асимптотика количества членов данного множества равна: $card \{n \leq \sqrt{x}: n^2+1 \in P\} \sim 2c\sqrt{x}/\ln(x)$.