Отделение мнимой части от действительной

[maravan]

Подскажите, известен ли способ быстро отделить мнимую часть от действительной для такого вида произведения?

$$ f(x,k)=\prod _{n=1}^k \left(x-\left(a_n+i b_n\right)\right), k\in \mathbb{N}, x\in \mathbb{R}, a_n\in \mathbb{R}, b_n\in \mathbb{R}. $$

Требуется найти аналитическое решение.
Можно раскрыть скобки и сгруппировать члены с $i$.
Интересует способ без раскрытия скобок и группировки, который даст в результате действительную и мнимую часть (предположим, что мне нужна только мнимая или действительная часть и не хочется считать всё выражение целиком и проводить группировку).

Пример:

$$ f(x,2)=\left(x-\left(a_1+i b_1\right)\right) \left(x-\left(a_2+i b_2\right)\right) $$

Что в итоге хочу получить:

$$ \operatorname{Re}(f(x,2))=-a_1 x-a_2 x+a_1 a_2-b_1 b_2+x^2 $$

$$ \operatorname{Im}(f(x,2))=a_2 b_1+a_1 b_2+b_1 (-x)-b_2 x $$

Может как-то через определитель (матрицы) посчитать?

Спасибо!

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- сформулируйте вопрос более внятно (сомножителей такого вида надо больше двух? сколько? аргумент функции вещественный или нет? если нет - какой?);
- заодно полезно уточнить, нужно аналитическое решение или ответ (полученный любым способом).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[mihiv]

Может быть записать каждый множитель произведения в показательной форме?
$x-(a_n+ib_n)=\rho _ne^{i\varphi _n}$.

[maravan]

mihiv в сообщении #1555131 писал(а):

Может быть записать каждый множитель произведения в показательной форме?
$x-(a_n+ib_n)=\rho _ne^{i\varphi _n}$.

Спасибо, вполне подойдет, но я уже через определитель придумал, как посчитать.