Уравнение Максвелла - Поле есть, а заряда нет?

[Divergence]

Возьмем уравнение Максвелла

$$ \operatorname{div} \, {\bf E}(x,y,z) = \frac{1}{\varepsilon_0} \rho (x,y,z) . $$

Рассмотрим электрическое поле в виде

$$ {\bf E}(x,y,z) = a x + b y + c z. $$

Дивергенция такого поля

$$ \operatorname{div} {\bf E}(x,y,z) = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} +\frac{\partial E_z}{\partial z} = a+b+c . $$

Следовательно объемная плотность заряда

$$ \rho (x,y,z) = \varepsilon_0 (a+b+c) . $$

Для частного случая $c=-a-b$ заряда нет

$$ \rho (x,y,z) = 0 , $$

а электрическое поле есть

$$ {\bf E}(x,y,z) = a x + b y - (a+b) z. $$

Вопрос первый: Это утверждение и его доказательство правильно или нет?
Вопрос второй: Это странно или нет тот факт, что заряда нет, а поле есть?
Вопрос третий: Как должна выглядеть физическая система зарядов, чтобы порождать поле

$$ {\bf E}(x,y,z) = a x + b y + c z. $$

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: тематика.

[пианист]

Судя по

Divergence в сообщении #1554506 писал(а):

$\frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} +\frac{\partial E_z}{\partial z} = a+b+c $

$a$, $b$, $c$ числа, но тогда и $ax + by + cz$ число, соответственно, Ваше предложение

Divergence в сообщении #1554506 писал(а):

Рассмотрим электрическое поле в виде

$$ {\bf E}(x,y,z) = a x + b y + c z. $$

неосуществимо - вектор не число.
А поле без зарядов вещь обычная, электромагнитные волны вполне себе наблюдаются.

[Divergence]

Прошу прощения за опечатку.
Должно быть написано

$$ {\bf E} (x,y,z) = a x {\bf e}_x + b y {\bf e}_y + c z {\bf e}_z. $$

$${\bf E}(x,y,z) = a x {\bf e}_x + b y {\bf e}_y - (a+b) z {\bf e}_z.$$

-- 13.05.2022, 22:33 --

А как должна выглядеть физическая система зарядов, чтобы порождать поле

$$ {\bf E} (x,y,z) = a x {\bf e}_x + b y {\bf e}_y + c z {\bf e}_z. $$

Разве в электростатики обычное дело - поле есть, а зарядов нет?

[sergey zhukov]

Divergence
Можно и более простой пример рассмотреть. Берем конденсатор с обкладками бесконечной площади и раздвигаем их на бесконечное расстояние. Получаем однородное электрическое поле без зарядов (все заряды удалены на бесконечность). В вашем случае нечто подобное происходит. Заряды на бесконечности.

Divergence в сообщении #1554514 писал(а):

А как должна выглядеть физическая система зарядов, чтобы порождать поле

$$ {\bf E} (x,y,z) = a x {\bf e}_x + b y {\bf e}_y + c z {\bf e}_z. $$

Вы же сами выше нашли нужную плотность заряда. Если все коэффициенты положительны (отрицательны), то плотность заряда будет возрастать от центра к периферии бесконечно. Если же сумма коэффициентов равна нулю, то вполне может быть и так: поле есть, а заряды, его создающие, все где-то на бесконечности.

[waxtep]

Напомнило старинную тему про магнитный монополь

[sergey zhukov]

waxtep

(Оффтоп)

В той теме про магнитны монополь, как я понял, загвоздка вот в чем. Если мы нашли некое поле $\vec{B}$ такое, что $\operatorname{rot}{\vec{B}}=\vec{j}$, то отсюда сразу не следует, что это и есть решение задачи для поля тока $\vec{j}$. Таких решений существует множество, т.к. к этому решению всегда можно прибавить любое потенциальное поле $\vec{B^\prime}$, и эта сумма тоже будет удовлетворять $\operatorname{rot}{\vec{(B+B^\prime)}=\vec{j}$

Поэтому вопрос заключается в том, чему равно $B^\prime$ (оно зависит от граничных условий), а разгадка парадокса - в том, что в условии молчаливо предполагается $B^\prime=0$, но это на самом деле не так.

Да, в этой задаче есть аналогичная неопределенность. Если мы нашли некоторое $\vec{E}$ такое, что $\operatorname{div}(\vec{E})=q$, то отсюда сразу не следует, что это и есть решение задачи для поля зарядов $q$. Таких решений существует множество, т.к. всегда можно прибавить любое поле $E^\prime$, такое, что $\operatorname{div}\vec{E}=0$, и эта сумма так же будет удовлетворять $\operatorname{div}\vec{(E+E^\prime)}=q$.

Divergence
У вас получилось, что плотность заряда $a+b+c$ равномерная по всему пространству (я выше неверно написал, плотность заряда не падает от центра к периферии, а остается постоянной в вашем случае). Вы нашли одно из электрических полей такое, что его дивергенция всюду постоянна. Теперь можете прибавить к этому решению любое поле, дивергенция которого равна нулю, и это тоже будет решением задачи. Вообще, задача, в которой требуется найти поле в пространстве, заполненном равномерной плотностью заряда, не вполне ясная (лично для меня).

[EUgeneUS]

Divergence в сообщении #1554506 писал(а):

Вопрос второй: Это странно или нет тот факт, что заряда нет, а поле есть?

Странно, что возник такой вопрос.
Что говорят уравнения Максвелла по этому поводу? Может ли возникать бездивергентное электрическое поле? Если да, то в каких случаях?

-- 14.05.2022, 07:32 --

Divergence в сообщении #1554506 писал(а):

Вопрос третий: Как должна выглядеть физическая система зарядов, чтобы порождать поле

$$ {\bf E}(x,y,z) = a x + b y + c z. $$

Предполагаю, что никак - не проверял.
Вот Вы и проверьте, может ли такое поле быть создано только зарядами или не может.

[rascas]

Divergence в сообщении #1554514 писал(а):

$${\bf E}(x,y,z) = a x {\bf e}_x + b y {\bf e}_y - (a+b) z {\bf e}_z.$$

А как должна выглядеть физическая система зарядов, чтобы порождать поле

$\operatorname{rot} \mathbf{E} = 0= -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$

Магнитного поля нет. Скорее всего это поле электростатическое. Зарядов на конечном расстоянии нет. Возможно это поле образовано заряженными нитями на бесконечности, и оси системы координат пересекаются с этими нитями.

[sergey zhukov]

EUgeneUS в сообщении #1554530 писал(а):

Вот Вы и проверьте, может ли такое поле быть создано только зарядами или не может.

Да, кстати, действительно. Статические электрическое поле (образованное неподвижным распределением зарядов) должно быть потенциальным ($\operatorname{rot}\vec{E}=0$). Если взять произвольное электрическое поле, то может получиться, что оно не может быть статическим, и искать подходящую систему неподвижных зарядов для него в этом случае не стоит.

[Divergence]

sergey zhukov в сообщении #1554549 писал(а):

EUgeneUS в сообщении #1554530 писал(а):

Вот Вы и проверьте, может ли такое поле быть создано только зарядами или не может.

Статические электрическое поле (образованное неподвижным распределением зарядов) должно быть потенциальным ($\operatorname{rot}\vec{E}=0$). Если взять произвольное электрическое поле, то может получиться, что оно не может быть статическим, и искать подходящую систему неподвижных зарядов для него в этом случае не стоит.

Это не важно. Можно во всех формулах использовать $a=a(t)$, $b=b(t)$, $c=c(t)$ и

$$ \operatorname{div} \, {\bf E}(t,x,y,z) = \frac{1}{\varepsilon_0} \rho (t,x,y,z) . $$

-- 14.05.2022, 13:53 --

sergey zhukov в сообщении #1554522 писал(а):

Если все коэффициенты положительны (отрицательны), то плотность заряда будет возрастать от центра к периферии бесконечно.

Плотность заряда постоянная $\rho=\varepsilon_0(a+b+c) =\operatorname{const}$ и не является возрастающей.

[sergey zhukov]

Divergence в сообщении #1554553 писал(а):

Это не важно. Можно во всех формулах использовать $a=a(t)$, $b=b(t)$, $c=c(t)$ и

$$ \operatorname{div} \, {\bf E}(t,x,y,z) = \frac{1}{\varepsilon_0} \rho (t,x,y,z) . $$

В квазистатическом приближении это так, но в общем случае это неверно.

Да, я там ошибся, плотность заряда у вас однородная по всему пространству. Такой плотности заряда логичнее всего удовлетворяет нулевое электрическое поле, однако законы электростатики такого решения не допускают. Лично мне это странно.

[Divergence]

Уравнение Максвелла

$$ \operatorname{div} \, {\bf E}(t,x,y,z) = \frac{1}{\varepsilon_0} \rho (t,x,y,z) . $$

верно в общем случае, если вы не уходите в КЭД.

[zykov]

В учебниках, когда просят найти поле системы зарядов, оговаривают, что на бесконечности поле стремится к нулю.
Тут поле не бесконечности далеко от нуля.
И вообще, раз уж нужен пример бездивиргентного поля, то есть ещё проще пример - однородное поле, везде один и тот же вектор $\vec E$.

[Divergence]

Постоянное поле бесконечной плоскости на бесконечности тоже не ноль.