Необходимо найти минимальный многочлен

[KurisuTina]

Дана матрица.

$$\begin{pmatrix} 12&-18 &-37 \\ 24&-35 &-71 \\ -7&10 &20 \end{pmatrix}$$

Нужно отыскать минимальный многочлен данной матрицы. При решении возникла проблема, она заключается в том, что нельзя привести к диагональному виду данную матрицу.
При попытке решить методом через миноры матрицы пришёл к неверному результату (Определил при проверке).
В каком направлении нужно двигаться при решении данной задачи? Не совсем понятно какой метод избрать...

[ihq.pl]

А что такое минимальный многочлен? Если что, я правда не знаю

[Sinoid]

KurisuTina в сообщении #1554086 писал(а):

При решении возникла проблема, она заключается в том, что нельзя привести к диагональному виду данную матрицу.

Как это? Разве такое может быть?

[artempalkin]

KurisuTina в сообщении #1554086 писал(а):

В каком направлении нужно двигаться при решении данной задачи? Не совсем понятно какой метод избрать...

Точно аннулирующим многочленом будет характеристический многочлен. Можно его найти, он будет третьей степени.

Минимальный многочлен должен быть его делителем. Если все корни у него разные, он и будет минимальным. Видимо, есть совпадающие корни (вы говорите, что она не диагонализируема, я лично не проверял). Соответственно, нужно рассмотреть многочлены-делители этого многочлена, их будет немного. Точно не подойдут многочлены первого порядка. Соответственно, нужно искать среди многочленов второго порядка.

-- 11.05.2022, 11:33 --

Sinoid в сообщении #1554090 писал(а):

Как это? Разве такое может быть?

Обычно в плане диагонализиемости речь идет о подобии матриц, а не о эквивалентности. Эквивалентностью, конечно, матрицу можно привести к очень широкому классу видов (в том числе к диагональному), но как это поможет найти минимальный многочлен?

[RIP]

(Оффтоп)

В данном случае хармногочлен равен $(x+1)^3$, он же и минимальный.

[artempalkin]

RIP
Получается, что у СЗ $-1$ геометрическая кратность $1$ (а алгебраическая $3$).

Вообще по поводу минимального многочлена... получается, что он должен иметь вид $f(\lambda)=\prod(\lambda-\lambda_i)^{k_i}$, где $k_i$ - максимальная высота корневого вектора, соответствующего данному СЗ. Или, иначе говоря, порядок максимальной жордановой клетки, соответствующей данной ЖНФ.