2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Необходимо найти минимальный многочлен
Сообщение07.05.2022, 22:27 
Дана матрица.
$$\begin{pmatrix}
 12&-18  &-37 \\
 24&-35  &-71 \\
 -7&10  &20 
\end{pmatrix}$$

Нужно отыскать минимальный многочлен данной матрицы. При решении возникла проблема, она заключается в том, что нельзя привести к диагональному виду данную матрицу.
При попытке решить методом через миноры матрицы пришёл к неверному результату (Определил при проверке).
В каком направлении нужно двигаться при решении данной задачи? Не совсем понятно какой метод избрать...

 
 
 
 Re: Необходимо найти минимальный многочлен
Сообщение07.05.2022, 22:45 
А что такое минимальный многочлен? Если что, я правда не знаю

 
 
 
 Re: Необходимо найти минимальный многочлен
Сообщение07.05.2022, 23:20 
KurisuTina в сообщении #1554086 писал(а):
При решении возникла проблема, она заключается в том, что нельзя привести к диагональному виду данную матрицу.

Как это? Разве такое может быть? :shock:

 
 
 
 Re: Необходимо найти минимальный многочлен
Сообщение11.05.2022, 11:32 
KurisuTina в сообщении #1554086 писал(а):
В каком направлении нужно двигаться при решении данной задачи? Не совсем понятно какой метод избрать...


Точно аннулирующим многочленом будет характеристический многочлен. Можно его найти, он будет третьей степени.

Минимальный многочлен должен быть его делителем. Если все корни у него разные, он и будет минимальным. Видимо, есть совпадающие корни (вы говорите, что она не диагонализируема, я лично не проверял). Соответственно, нужно рассмотреть многочлены-делители этого многочлена, их будет немного. Точно не подойдут многочлены первого порядка. Соответственно, нужно искать среди многочленов второго порядка.

-- 11.05.2022, 11:33 --

Sinoid в сообщении #1554090 писал(а):
Как это? Разве такое может быть?
:shock:

Обычно в плане диагонализиемости речь идет о подобии матриц, а не о эквивалентности. Эквивалентностью, конечно, матрицу можно привести к очень широкому классу видов (в том числе к диагональному), но как это поможет найти минимальный многочлен?

 
 
 
 Re: Необходимо найти минимальный многочлен
Сообщение11.05.2022, 17:13 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

В данном случае хармногочлен равен $(x+1)^3$, он же и минимальный.

 
 
 
 Re: Необходимо найти минимальный многочлен
Сообщение13.05.2022, 09:34 
RIP
Получается, что у СЗ $-1$ геометрическая кратность $1$ (а алгебраическая $3$).

Вообще по поводу минимального многочлена... получается, что он должен иметь вид $f(\lambda)=\prod(\lambda-\lambda_i)^{k_i}$, где $k_i$ - максимальная высота корневого вектора, соответствующего данному СЗ. Или, иначе говоря, порядок максимальной жордановой клетки, соответствующей данной ЖНФ.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group