Наивный вопрос о гравитационной энергии

[diletto]

Потенциальная энергия гравитации квадратична по массе системы (для конкретности, пусть система - это пылевое облако). Следовательно, она превысит полную энергию системы при достаточно большой массе.
Что не так в этом рассуждении?

[Pphantom]

diletto в сообщении #1553627 писал(а):

Что не так в этом рассуждении?

А что, собственно, тут должно быть не так (ну кроме, возможно, неосознанного обращения с модулем потенциальной энергии)?

[diletto]

Pphantom в сообщении #1553628 писал(а):

А что, собственно, тут должно быть не так (ну кроме, возможно, неосознанного обращения с модулем потенциальной энергии)?

Да просто мне казалось, что полная энергия непревышаема. А получается - процесс гравитационного сжатия облака может выделить энергии больше, чем его полная аннигиляция...
(Безо всяких там сингулярностей, просто сжатие от R до r)

[Geen]

diletto в сообщении #1553630 писал(а):

Да просто мне казалось, что полная энергия непревышаема

В какой теории?

[Pphantom]

diletto в сообщении #1553630 писал(а):

А получается - процесс гравитационного сжатия облака может выделить энергии больше, чем его полная аннигиляция...

Не получится, классическая теория тяготения все-таки имеет ограниченную область применимости, дальше придется поправки ОТО учитывать. Но вот добиться сравнимого по порядку величины с аннигиляцией выделения энергии, да, можно.

[sergey zhukov]

Тут под полной энергией имеется ввиду, как я понял $mc^2$.
Это не является каким-то недостижимым пределом. Движущиеся частицы, энергия которых больше их энергии покоя, называются ультрарелятивистскими. Ничто не мешает, по моему, частицам пылевого облака приобрести подобные ультрарелятивистские скорости в процессе его сжатия.

[diletto]

Pphantom в сообщении #1553636 писал(а):

Не получится, классическая теория тяготения все-таки имеет ограниченную область применимости, дальше придется поправки ОТО учитывать. Но вот добиться сравнимого по порядку величины с аннигиляцией выделения энергии, да, можно.

А какие именно ограничения применимости здесь возникают? Пусть начальное состояние - просто очень большое облако, достаточно разреженное, с покоящимися друг относительно друга частицами. Как правильно написать формулу для его полной энергии? $ E=Mc^2 $ - это неверно? Просто из-того, что система очень протяжённая?..

Или в $ E=Mc^2 $ и $ U=\gamma\frac {m^2} {2R} $ участвуют разные массы, т.е. M - это масса всех частиц плюс масса поля (которая зависит от размера облака), а m - масса только частиц без поля?

[Geen]

diletto в сообщении #1553642 писал(а):

Пусть начальное состояние - просто очень большое облако, достаточно разреженное

Очень большое облако образует ЧД невзирая на разряжённость.

diletto в сообщении #1553642 писал(а):

Как правильно написать формулу для его полной энергии?

Что такое "полная энергия"?

diletto в сообщении #1553642 писал(а):

$ E=Mc^2 $ - это неверно?

Что такое $M$?

-- 29.04.2022, 16:12 --

diletto в сообщении #1553642 писал(а):

с покоящимися друг относительно друга частицами.

А почему частицы покоятся?

[diletto]

Geen в сообщении #1553643 писал(а):

Очень большое облако образует ЧД невзирая на разряжённость.

Вот что-то такое я подозревал. Собственно, с этого и начал задумываться...

Geen в сообщении #1553643 писал(а):

Что такое "полная энергия"?

Скажем, половина энергии, выделяемой при аннигиляции.

Geen в сообщении #1553643 писал(а):

Что такое $M$?

Дополнил предыдущее сообщение по поводу М...

Geen в сообщении #1553643 писал(а):

А почему частицы покоятся?

Ну вот развезли их демоны Максвелла... или Эйнштейна... на исходные позиции, и отпустили, проконтролировав, что начальные взаимные скорости - нулевые.

[Pphantom]

diletto в сообщении #1553642 писал(а):

А какие именно ограничения применимости здесь возникают?

Ну давайте посчитаем. В рамках классической теории при квазистационарном сжатии облака (если оно в каждый момент сжатия вириализуется) полная энергия равна половине потенциальной, а изменение потенциальной можно оценить как итоговую потенциальную после сжатия (начальная по модулю существенно меньше, ее отличием от нуля можно просто пренебречь). Итого с точностью до коэффициента порядка единицы (та самая половина и коэффициент, описывающий распределение плотности вдоль радиуса в облаке) $\Delta E \sim \frac{GM^2}{R}$, где $R$ - финальный радиус после сжатия. Приравниваем $\Delta E = M c^2$, тогда $c^2 \sim \frac{GM}{R}$ и итоговый радиус $R \sim \frac{GM}{c^2}$. Иначе говоря, это радиус Шварцшильда (справа он и написан, только без коэффициента $2$).

Вывод - энергия порядка энергии покоя выделится как раз примерно тогда, когда объект сожмется в черную дыру. Очевидно, что на этой стадии классики недостаточно.

[diletto]

Pphantom в сообщении #1553652 писал(а):

В рамках классической теории при квазистационарном сжатии облака (если оно в каждый момент сжатия вириализуется) полная энергия равна половине потенциальной, а изменение потенциальной можно оценить как итоговую потенциальную после сжатия (начальная по модулю существенно меньше, ее отличием от нуля можно просто пренебречь). Итого с точностью до коэффициента порядка единицы (та самая половина и коэффициент, описывающий распределение плотности вдоль радиуса в облаке) $\Delta E \sim \frac{GM^2}{R}$, где $R$ - финальный радиус после сжатия. Приравниваем $\Delta E = M c^2$, тогда $c^2 \sim \frac{GM}{R}$ и итоговый радиус $R \sim \frac{GM}{c^2}$. Иначе говоря, это радиус Шварцшильда (справа он и написан, только без коэффициента $2$).

Вывод - энергия порядка энергии покоя выделится как раз примерно тогда, когда объект сожмется в черную дыру. Очевидно, что на этой стадии классики недостаточно.

Прошу прощения, вириальная теорема осталась мне непонятной уже на уровне формулировки. Что такое "средняя полная кинетическая энергия"? По чему усреднение?

[Pphantom]

diletto в сообщении #1553658 писал(а):

Что такое "средняя полная кинетическая энергия"?

Не знаю. Где вы это взяли?

Предположить можно, что под "полной кинетической энергией" в данном случае имелась в виду кинетическая энергия системы, а средняя - да, в теореме вириала речь идет о значениях, усредненных по времени.

Но конкретно в рамках данного вопроса это все лишнее, она тут нужна была просто как способ оценки полной энергии.

[diletto]

Pphantom в сообщении #1553662 писал(а):

она тут нужна была просто как способ оценки полной энергии

Мда, туповат был Ваня бедный... Вообще не понимаю. Ладно, отложим про вириал.
Может быть, классики недостаточно уже потому, что гравитационный радиус пропорционален массе, масса же растёт как куб линейного размера - и поэтому достаточно большое облако имеет собственный радиус меньше гравитационного?

И можно я вернусь к:

diletto в сообщении #1553642 писал(а):

Или в $ E=Mc^2 $ и $ U=\gamma\frac {m^2} {2R} $ участвуют разные массы, т.е. M - это масса всех частиц плюс масса поля (которая зависит от размера облака), а m - масса только частиц без поля?

Это вообще верно?
Если да, то два облака из строго одинакового количества одинаковых частиц - одно малое плотное, другое большое разреженное - будут притягивать равноудалённое пробное тело с различной силой? Здесь-то можно опираться на классические представления?

[Pphantom]

diletto в сообщении #1553665 писал(а):

Может быть, классики недостаточно уже потому, что гравитационный радиус пропорционален массе, масса же растёт как куб линейного размера - и поэтому достаточно большое облако имеет собственный радиус меньше гравитационного?

Если мы говорим о реальном облаке - нет.

diletto в сообщении #1553665 писал(а):

Это вообще верно?

Скорее нет. Опять-таки если речь идет о реальном облаке, то учет дефекта масс начисто лишен смысла.

[diletto]

Pphantom в сообщении #1553666 писал(а):

Скорее нет.

Если "скорее нет", то это означает, что масса гравитационного поля сама не гравитирует?

Pphantom в сообщении #1553666 писал(а):

если речь идет о реальном облаке, то учет дефекта масс начисто лишен смысла

Я понимаю, что реальное облако и неоднородно, и имеет момент вращения. Но как это мешает предложенному мысленному опыту?