предел функции (без Лопиталя и Тейлора)

[zoo]

ай-яй-яй, господа студенты. Есть два наиболее распространенных и удобных в смысле изучения свойств этих функций способа вводить логарифм и экспоненту. Первый такой
$\ln x:=\int_1^x\frac{ds}{s},\quad x>0$ и т.д. (этому учат в хороших школах)
Другой такой: функцией $y(x)=\exp( x)$ называется решение задачи Коши
$y'=y,\quad y(0)=1$

[ewert]

zoo писал(а):

ewert в сообщении #155014 писал(а):

это обычно начало первого семестра

а что формула Эйлера делает в начале первого семестра зачем она там?

а без неё там грустно -- не будет показательной формы записи комплексного числа, а без этой формы -- грустно с корнями (т.е. можно, но грустно, поскольку безыдейно).

[zoo]

ewert писал(а):

zoo писал(а):

ewert в сообщении #155014 писал(а):

это обычно начало первого семестра

а что формула Эйлера делает в начале первого семестра зачем она там?

а без неё там грустно -- не будет показательной формы записи комплексного числа, а без этой формы -- грустно с корнями (т.е. можно, но грустно, поскольку безыдейно).

для корней по-моему достаточно такой факт иметь
$\arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2\pmod {2\pi}$

[citadeldimon]

mkot в сообщении #155108 писал(а):

Но тогда вы и производную косинуса будите вынуждены определить из производной экспоненты, что мы делать как раз не хотим.

Определить можно, но производную получить аналогично как в действительном анализе (используя тригонометрические формулы - они же у нас все справедливы для комплексных чисел). От тут и возникает тот момент (не надо производной экспоненты), на который я и привлекаю внимание.

[mkot]

citadeldimon писал(а):

Определить можно, но производную получить аналогично как в действительном анализе (используя тригонометрические формулы - они же у нас все справедливы для комплексных чисел). От тут и возникает тот момент (не надо производной экспоненты), на который я и привлекаю внимание.

citadeldimon, Вы правы. Про это я и не подумал.

[citadeldimon]

zoo писал(а):

ай-яй-яй, господа студенты. Есть два наиболее распространенных и удобных в смысле изучения свойств этих функций способа вводить логарифм и экспоненту. Первый такой
$\ln x:=\int_1^x\frac{ds}{s},\quad x>0$ и т.д. (этому учат в хороших школах)
Другой такой: функцией $y(x)=\exp( x)$ называется решение задачи Коши
$y'=y,\quad y(0)=1$

$$e^x=\lim\limits_{n\to+\infty}(1+\frac x n)^n$$

.
Как Вам такое определение?

[zoo]

citadeldimon в сообщении #155262 писал(а):

$$e^x=\lim\limits_{n\to+\infty}(1+\frac x n)^n$$

.
Как Вам такое определение?

теперь продифференцируйте так определенную $e^x$

[citadeldimon]

Уже была ссылка:

id писал(а):

Если кратко, см. Шабат "Введение в комплексный анализ Т.1" стр. 72.

И давайте на этом закончим дискуссию, мысли всех участников дискуссии
ясны, свою точку зрения я написал и кто то согласился, кто то нет -
дело каждого. Один большой плюс этого разговора - очень четкая
аргументация и новые знания для кого то. Спасибо всем за этот разговор.

[Cave]

zoo
Задачу Коши в школах, разумеется, рассматривать не будут, а первый способ как площадь под экспонентой не является единственным.
Мне лично более естественным кажется определить понятия возведения в произвольную степень, числа вроде $2^\sqrt{2}$.
Для этого определяем число $e$, возведение в рациональную степень, доказываем его монотонность и непрерывность на $\mathbb{Q}$, получаем функцию $e^x$ на множестве рациональных чисел. Дальше можно было бы определить эту функцию в произвольном вещественном $x$ как соответствующий предел (ведь требования от возведения в произвольную степень логичны - те же монотонность и непрерывность, но уже на $\mathbb{R}$), но можно немного уйти от проблемы с техникой в этом случае: рассмотреть функцию $exp(x) = \lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac x n)^n$, определенную при всех вещественных $x$, и доказать ее совпадение $e^x$ во всех рациональных числах. Её непрерывность выводится из её же монотонности (которая очевидна). Любые две непрерывные функции, совпадающие на $\mathbb{Q}$, совпадают, поэтому так построенная экспонента и есть искомая функция.
После этого логарифм, разумеется, определяем как обратную функцию, он непрерывен и монотонен, из этого все замечательные пределы выводятся так же замечательно. Возможно, путь не кратчайший, но зато использует весьма симпатичные соображения и не использует много техники. Для 10 класса, как мне кажется, подходит хорошо.

[zoo]

Cave писал(а):

zoo
Задачу Коши в школах, разумеется, рассматривать не будут, а первый способ как площадь под экспонентой не является единственным.

я где-то писал про единственность?

Cave писал(а):

Мне лично более естественным кажется определить понятия возведения в произвольную степень, числа вроде $2^\sqrt{2}$.
Для этого определяем число $e$, возведение в рациональную степень, доказываем его монотонность и непрерывность на $\mathbb{Q}$, получаем функцию $e^x$ на множестве рациональных чисел. Дальше можно было бы определить эту функцию в произвольном вещественном $x$ как соответствующий предел (ведь требования от возведения в произвольную степень логичны - те же монотонность и непрерывность, но уже на $\mathbb{R}$), но можно немного уйти от проблемы с техникой в этом случае: рассмотреть функцию $exp(x) = \lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac x n)^n$, определенную при всех вещественных $x$, и доказать ее совпадение $e^x$ во всех рациональных числах. Её непрерывность выводится из её же монотонности (которая очевидна). Любые две непрерывные функции, совпадающие на $\mathbb{Q}$, совпадают, поэтому так построенная экспонента и есть искомая функция.
После этого логарифм, разумеется, определяем как обратную функцию, он непрерывен и монотонен, из этого все замечательные пределы выводятся так же замечательно. Возможно, путь не кратчайший, но зато использует весьма симпатичные соображения и не использует много техники. Для 10 класса, как мне кажется, подходит хорошо.

прекрасно, вот и вывидете замечательные пределы из таких определений и выложите этот вывод сюда, очень интересно посмотреть, как Вы не будете использовать много техники.

[Cave]

zoo
Не писали, но сказали, что он является наиболее удобным и распространённым. Я лишь предложил другой.

Вывод замечательных пределов проходит по следующей схеме: доказываем, что $e^a = \lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac a x)^x$ (это уже должно было быть сделано для доказательства совпадения функций в рациональных точках, делается неравенствами с целой частью и теоремой о двух миллиционерах), выводим, что $e = \lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac 1 x)^x$, делаем замену $t = \frac 1 x$, чтобы получить $e = \lim\limits_{t\to 0}(1+t)^{\frac 1 t}$, логарифмируем и пользуемся непрерывность логарифма и свойством $\ln a^b = b\ln a$ при соответстствующих $a$ и $b$, которое следует из $(e^a)^b = e^{ab}$, которое, в свою очередь, следует из такого же для рациональных $a$ и $b$. По-моему, не очень много техники. На задачи разбивается хорошо.

[zoo]

Cave писал(а):

zoo
Не писали, но сказали, что он является наиболее удобным и распространённым. Я лишь предложил другой.

Вывод замечательных пределов проходит по следующей схеме: доказываем, что $e^a = \lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac a x)^x$ (это уже должно было быть сделано для доказательства совпадения функций в рациональных точках, делается неравенствами с целой частью и теоремой о двух миллиционерах),

а что такое $e$ по определению, на этом этапе?

[Cave]

zoo
$e$ определяем изначально как предел $\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac 1 n)^n$, то есть значение экспоненты в единице.

[zoo]

Cave писал(а):

zoo
$e$ определяем изначально как предел $\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac 1 n)^n$, то есть значение экспоненты в единице.

значит все свелось к вопросу онепрерывности $e^x$ вот это и будет самая нудобоперевариваемая часть Вашей конструкции

[Cave]

zoo
Да, она используется, не спорю, но доказывается не напрямую, а следующим образом: сначала непрерывность функции $e^x$ по множеству $\mathbb{Q}$ (с использованием $\lim\limits_{n\to\infty}a^{\frac 1 n} = 1$), затем совпадение с экспонентой, определенной через предел, на $\mathbb{Q}$ (используя замену переменной $t = x/a$), а затем монотонность экспоненты (очевидна, так как функция по пределом монотонна). Нетрудно видеть, что из этих трёх фактов следует непрерывность экспоненты на $\mathbb{R}$. До детей это тоже вполне можно донести, порисовав картинки монотонных функций (если у них не было к этому времени классификации точек разрыва монотонной функции).