Функциональный анализ доказательство теоремы

[Mukh]

Здравствуйте. Помогите пожалуйста разобраться в доказательстве теоремы:

Если $f \in L(E)$, то $|f| \in L(E) $ и $|$\int f(x) dx$| \leq $\int |f| dx$$

Доказательство из Курса математического анализа том 2 Никольского С.М.:
Пусть $E' \subset E$, $\mu E' = \mu E$ - множество, на котором f конечна. На нем можно определить, как мы знаем, неотрицательные функции $f_+,f_- \in L(E')$, для которых верно:
$|f(x)| = f_+(x) + f_-(x)$, $f(x) = f_+(x) + f_-(x)$[/c]

Отсюда $|f| \in L(E')$, следовательно, также $|f| \in L(E)$. Кроме того, выполняются равенства:

$$\int_{E'} |f| dx= \int_{E'} f_+ dx + \int_{E'} f_- dx$$

,

$$\int_{E'} f dx =\int_{E'} f_+ dx - \int_{E'} f_- dx$$

из которых, если учесть, что интегралы от $f_+$ и $f_-$ суть не отрицательные числа, непосредственно следует исходное неравенство с $E'$ вместо $E$, но тогда это неравенство верно и для $E$.

А теперь вопросы:
Почему мы можем определить $f_+,f_- $ так чтобы они были интегрируемы? Что здесь означает "конечная функция"? И почему мы можем сказать, что если неравенство выполняется для $E' \subset E$, то выполняется и для $E$?

P.S.

$$ f_+=\begin{cases} f(x),&\text{если $x\geqslant0$;}\\ 0,&\text{если $x<0$;} \end{cases} $$

$$f_-=\begin{cases} f(x),&\text{если $x<0$;}\\ 0,&\text{если $x\geqslant0$;} \end{cases} $$

-- 12.12.2012, 21:05 --

UPD "конечная функция": $f$ конечная на $E$, т.е. приводит в соответствие каждой точке $x \in E$ конечное число.

[yuriy12375]

Множества $\{x:f(x)\ge0\}$ и $\{x:f(x)\le0\}$ измеримы, поэтому измеримы и характеристические функции этих множеств, а также и произведения этих характеристических функций на $f(x)$, то есть $f_\pm(x)$. Определения этих функций у вас неправильно написаны, надо, например, не $x>0,x<0$, а $f(x)>0,f(x)<0$. Они интегрируемы, потому что не превосходят самой функции. И ответ на второй вопрос - множества$E$ и $E'$ отличаются на множество меры 0 (множество точек, где функция бесконечна), поэтому интегралы по этим множествам совпадают.

[Lia]

Жаль, что топик-стартеру это вряд ли поможет: последний раз он тут был 10 лет назад.