Задача вариационного исчисления со вложенными интегралами

[Pumpov]

Добрый день. У меня возникла несколько необычная для вариационного исчисления задача.
Есть функционал в виде интеграла и вложенного в него интегралов:
V = \int\limits_{0}^{1}\left({\left[\int\limits_{0}^{1}\cos\left(\frac{m}{2}\varphi(\eta)\right)\cos\left(2\pi x\eta\right)d \eta\right]}^2+{\left[\int\limits_{0}^{1}\sin\left(\frac{m}{2}\varphi(\eta)\right)\cos\left(2\pi x\eta\right)d \eta\right]}^2\right)dx.
Задача ставится так: нужно найти (если возможно) такую функцию $\varphi(\eta)$, чтобы данный функционал при заданном положительном $m$ принимал наименьшее значение.
Могу сказать, что максимальное значение функционал $V$ принимает при $\varphi(\eta)=\operatorname{const}$.
А так (при заданном $m$), если в качестве $\varphi(\eta)$ брать функцию, которая осциллирует (например синус), то с увеличением числа периодов осцилляций значение функционала уменьшается и стремится к некоторому числу.
Получается, что минимум, возможно, соответствует осциллирующей функции с бесконечным числом периодов - но это значит, что решения нет? Или есть предельное решение?

Или, можно ли тогда так поставить задачу: чему равно минимальное значение функционала $V$ при заданном $m$, где можно брать любую функцию $\varphi(\eta)$?

В данном случае не пойму толком, как то же уравнение Эйлера писать, ведь функция $\varphi(\eta)$ не зависит от $x$ ...

[svv]

Pumpov в сообщении #1553339 писал(а):

при заданном $m$

Я не вижу смысла задавать $m$, потому что $m$ и $\varphi(\eta)$ входят только в виде произведения.

Допустим, для $m=3$ получилась оптимальная функция $\varphi_3(\eta)$, при которой функционал равен $V_3$. А для $m=8$ получилась оптимальная функция $\varphi_8(\eta)$, при которой функционал равен $V_8$. И, допустим, $V_3<V_8$.

Но ведь тогда для $m=8$ можно взять лучшую $\tilde\varphi_8(\eta)=\frac 3 8\varphi_3(\eta)$, на которой функционал даст $V_3$. Противоречие.

Иными словами, случай любого положительного $m$ элементарно сводится к одной и той же задаче, не зависящей от $m$. Существует для этой задачи оптимальная функция или нет — другой вопрос.

[Red_Herring]

Это нестандартная задача, поэтому стандартные методы приложимы ограниченно.
1. Перепишите квадраты интегралов как произведения двух интегралов, по переменным $\eta$ и $\eta'$.
2. После этого возьмите интеграл по $x$ и тройной интеграл по переменным $\eta$, $\eta'$ и $x$ станет двойным

$$ F[\varphi] = \iint \cos (\varphi(\eta) -\varphi(\eta')) R(\eta,\eta')\,d\etad\eta'.$$

$m=2$ и $R(\eta,\eta')$ найдите сами.
3. Рассмотрите вариацию и приравняйте к $0$ для всех $\delta \varphi$. Получите интегральное урвнение.

[mihiv]

Понятно, что $V_{min}\geq 0$. Если выбрать $\varphi (\eta)=N\eta $, то

$$\int \limits _0^1\cos (N\eta )\cos (2\pi x\eta )d\eta =\frac12 \left (\dfrac {\sin (N+2\pi x)}{N+2\pi x}+\dfrac {\sin (N-2\pi x)}{N-2\pi x}\right )$$

. Интеграл от квадрата этого выражения по $x$ можно сделать как угодно малым, выбрав достаточно большое $N$. То же самое справедливо и для $\int \limits _0^1\sin (N\eta )\cos (2\pi x\eta )d\eta $. Поэтому выбором $N$ можно получить значение $V$ как угодно близкое к 0. Значит, если $V_{min}$ существует , то оно равно 0. Другое дело, что оптимальной функции может не быть.

[alisa-lebovski]

mihiv в сообщении #1553360 писал(а):

то оно равно 0. Другое дело, что оптимальной функции может не быть.

По-моему, $V$ может быть равно $0$ только, если оба внутренних интеграла равны нулю при всех $x\in [0,1]$, чего не может быть. Так что минимума нет, инфинум есть, предельной функции нет.

[Pumpov]

svv в сообщении #1553352 писал(а):

Иными словами, случай любого положительного $m$ элементарно сводится к одной и той же задаче, не зависящей от $m$.

Да, спасибо большое за пояснение, без $m$будет лучше и проще решать задачу.

Red_Herring в сообщении #1553359 писал(а):

Это нестандартная задача, поэтому стандартные методы приложимы ограниченно.
1. Перепишите квадраты интегралов как произведения двух интегралов, по переменным $\eta$ и $\eta'$.
2. После этого возьмите интеграл по $x$ и тройной интеграл по переменным $\eta$, $\eta'$ и $x$ станет двойным

$$ F[\varphi] = \iint \Bigl(\cos (\varphi -\varphi') R(\eta,\eta')\,d\etad\eta'.$$

$m=2$ и $R(\eta,\eta')$ найдите сами.
3. Рассмотрите вариацию и приравняйте к $0$ для всех $\delta \varphi$. Получите интегральное урвнение.

Red_Herring
Благодарю Вас за ответ - я попробую разобраться в Вашем методе и решить.

-- 24.04.2022, 23:51 --

alisa-lebovski в сообщении #1553361 писал(а):

По-моему, $V$ может быть равно $0$ только, если оба внутренних интеграла равны нулю при всех $x\in [0,1]$, чего не может быть. Так что минимума нет, инфинум есть, предельной функции нет.

Наименьшее $V$ не равно нулю, это не строго очевидно, но можно расписать два интеграла через формулы тригонометрии и получится, что так.
Инфинум есть, а минимума нет - т.е. Вы имеете в виду, что инфинум"касается", но не принадлежит множеству значений $V$? И соответственно, нет конкретной функции $\varphi(\eta)$, которая обеспечит инфинум? А почему Вы так сразу решили?

-- 24.04.2022, 23:56 --

mihiv в сообщении #1553360 писал(а):

Понятно, что $V_{min}\geq 0$. Если выбрать $\varphi (\eta)=N\eta $, то

$$\int \limits _0^1\cos (N\eta )\cos (2\pi x\eta )d\eta =\frac12 \left (\dfrac {\sin (N+2\pi x)}{N+2\pi x}+\dfrac {\sin (N-2\pi x)}{N-2\pi x}\right )$$

. Интеграл от квадрата этого выражения по $x$ можно сделать как угодно малым, выбрав достаточно большое $N$. То же самое справедливо и для $\int \limits _0^1\sin (N\eta )\cos (2\pi x\eta )d\eta $. Поэтому выбором $N$ можно получить значение $V$ как угодно близкое к 0. Значит, если $V_{min}$ существует , то оно равно 0. Другое дело, что оптимальной функции может не быть.

Посмотрю ещё раз, о чём Вы говорите. Действительно, может быть и ноль...

Хотя стоп! Вы написали функцию $N\eta$, так вот поэтому я и выбрал ранее $\frac{m}{2}\varphi(\eta)$, чтобы заданным $m$ ограничить модуль этой функции, а искать оптимальную $\varphi(\eta)$. Поэтому вопрос открытый, думаю.

[Null]

Pumpov в сообщении #1553362 писал(а):

чтобы заданным $m$ ограничить модуль этой функции

У вас $\varphi$ ограничена чем то?

[Pumpov]

Null в сообщении #1553372 писал(а):

Pumpov в сообщении #1553362 писал(а):

чтобы заданным $m$ ограничить модуль этой функции

У вас $\varphi$ ограничена чем то?

Да, забыл пояснить, что модуль (или СКО от среднего значения) функции ограничены (допустим, единицей). И вот тогда и получается эффект, что если взять функцию типа синуса с большим числом периодов осцилляций, то устремить к минимуму функционал $V$ можно не увеличивая модуль функции, а повышая число периодов осцилляций!

[Pumpov]

alisa-lebovski
Прошу прощения, Вы написали про задачу оптимального управления - пропало теперь Ваше сообщение. Что-то родственное принципу максимума Понтрягина стоит использовать?

[alisa-lebovski]

Pumpov в сообщении #1553405 писал(а):

Прошу прощения, Вы написали про задачу оптимального управления - пропало теперь Ваше сообщение. Что-то родственное принципу максимума Понтрягина стоит использовать?

Я сначала неправильно написала. Если $(m/2)\varphi(\eta)$ может принимать любые значения из $[-\pi,\pi]$, то гоняя эту функцию по отрезку, можно так же гонять синус и косинус, так что быстрыми осцилляциями функции (а не обязательно ее большим ростом) можно вызвать быстрые осцилляции синуса и косинуса, а этим можно сделать интегралы сколь угодно близкими к нулю, при этом предельной функции (бесконечно быстро осциллирующей) нет. Для задач оптимального управления характерно наличие ограничений (на функции) не интегрального характера, а сверху, снизу, по модулю и т.п. Подробнее я в этом не разбираюсь.

[Pumpov]

alisa-lebovski в сообщении #1553412 писал(а):

Я сначала неправильно написала. Если $(m/2)\varphi(\eta)$ может принимать любые значения из $[-\pi,\pi]$, то гоняя эту функцию по отрезку, можно так же гонять синус и косинус, так что быстрыми осцилляциями функции (а не обязательно ее большим ростом) можно вызвать быстрые осцилляции синуса и косинуса, а этим можно сделать интегралы сколь угодно близкими к нулю, при этом предельной функции (бесконечно быстро осциллирующей) нет. Для задач оптимального управления характерно наличие ограничений (на функции) не интегрального характера, а сверху, снизу, по модулю и т.п. Подробнее я в этом не разбираюсь.

Ну вот я попробовал в Маткаде взять $(m/2)\varphi(\eta)=(m/2)\sin(k\varphi)$ и начал увеличивать $k$. При этом, для данного $m$, допустим, из промежутка $[0.1,0.3]$, получается не ноль, а некоторое предельное положительное значение. С увеличением $m$ оно имеет тенденцию уменьшаться, конечно.

[alisa-lebovski]

Pumpov в сообщении #1553421 писал(а):

С увеличением $m$ оно имеет тенденцию уменьшаться, конечно.

А начиная с $m=2\pi$, в пределе будет $0$. До этого, да, будут какие-то положительные значения. Кстати, из Вашего обозначения $m$ казалось, что речь идет о натуральных числах.