2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Доказать касание прямой и окружности
Сообщение28.10.2008, 18:54 
Окружности Γ1 и Γ2 лежат внутри окружности Γ и касаются ее в точках M и N соответственно, притом, центр окружности Γ2 лежит на Γ1. Продолжение общей хорды окружностей Γ1 и Γ2 пересекает Γ в точках A и B. Прямые MA и MB повторно пересекают Γ1 в точках C и D. Докажите, что прямая CD касается Γ2.

Добавлено спустя 1 минуту 5 секунд:

может я какой факт не знаю??

 
 
 
 
Сообщение28.10.2008, 21:00 
Аватара пользователя
Изображение

 
 
 
 
Сообщение28.10.2008, 21:06 
хороший чертеж!... :)

 
 
 
 
Сообщение28.10.2008, 21:21 
Аватара пользователя
для подобных треугольников MCD, MAB посчитайте коэффициент подобия через радиусы.

 
 
 
 
Сообщение28.10.2008, 21:25 
почему подобны?

 
 
 
 
Сообщение29.10.2008, 01:59 
спасибо за идею. дальше сам разберусь... :D

 
 
 
 
Сообщение30.10.2008, 14:38 
Аватара пользователя
Есть ещё такое решение. Оно распадается на 2 подзадачи: первая лёгкая, а вторая - красивая и сложная задача на доказательство.Первая - для такого расположения окружностей $\omega_{O_1}$ и $\omega_{O_2}$ (как в условии задачи и на рис. от gefest_md) если ещё провести 2 внешние касательные $PQ$ и $FT$ ($P$ и $F$ лежат на $\omega_{O_1}$), то $PF$ будет касаться $\omega_{O_2}$.Это, вроде, достаточно легко доказать. Вторая подзадача утверждает, что точки $C$ и $D$ это и есть точки касания внешних касательных с $\omega_{O_1}$ 8-)

 
 
 
 
Сообщение30.10.2008, 15:17 
интересно... попробую так, а то подобие не хочет доказываеться. :)

 
 
 
 
Сообщение30.10.2008, 16:26 
Аватара пользователя
Владимир_Руб писал(а):
интересно... попробую так, а то подобие не хочет доказываеться. :)

Могу более подробно рассказать про вторую "часть" задачи. Вы с первой справились?
И кстати, помните ли лемму Архимеда (я про касающиеся окружности)?

 
 
 
 
Сообщение30.10.2008, 18:10 
лемму напомните, пожалуйста...
а подробней не надо... сам попробую пока..
если не получится, тогда просить подробности буду... :)

 
 
 
 
Сообщение30.10.2008, 18:43 
Аватара пользователя
В рамках поставленной задачи лемму можно сформулировать так:
'Хорда AB делит некоторую окр. на 2 дуги (AB) и (BA).Произвольная окр. вписана в сегмент [AB] и касается хорды AB и дуги (AB) в точках M и N соответственно. Тогда середина дуги (BA) и точки M и N лежат на одной прямой." И ещё обобщение этой леммы тоже понадобится: "... в сегмент [AB] вписаны 2 окр., пересекающиеся в точках C и D.Тогда середина дуги (BA), C и D лежат на одной прямой."

 
 
 
 
Сообщение31.10.2008, 06:43 
Аватара пользователя
Владимир_Руб писал(а):
хороший чертеж!... :)

Чертеж как раз неудачный, т.к. на нём центры окружностей расположены (почти) на одной прямой, что может ввести в заблуждение.

А задачу можно решать прямолинейно. Расстояние т. $M$ до прямой $AB$ легко находится, т.к. известиен косинус угла $OO_1O_2$. Расстояние т. $M$ до $DC$ в $R_1/R$ раз больше, чем до $AB$ (из уже указанного подобия тр-ков). Вот так и найдёте расстояние т. $O_2$ до $DC$, которое окажется равным $R_2$.

 
 
 
 
Сообщение02.11.2008, 16:31 
Dimoniada, спасибо за помощь! Все получилось! :)

ТOTAL, а как вы подобие указаных треугольников доказали? А то у меня не вышло это показать сначала... теперь мучаюсь этим вопросом...

 
 
 
 
Сообщение02.11.2008, 19:58 
и еще вопрос... :)
как обобщенную лемму Архимеда доказать?

З.Ы. с простой я справился...

 
 
 
 
Сообщение02.11.2008, 23:59 
Все...

Остался только один вопрос:
как доказать подобие треугольников MCD и MAB чтоб через этот факт доказать утверждение...

 
 
 [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group