2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Взять интеграл
Сообщение03.04.2022, 03:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2086
Минск, Беларусь
$$\int\limits_{-1}^{1}\frac1x\sqrt\frac{1+x}{1-x}\ln\frac{2x^2+2x+1}{2x^2-2x+1}dx$$

(Оффтоп)

$4\pi\arcsin(2\sin\frac{\pi}{10})$

 Профиль  
                  
 
 Re: Взять интеграл
Сообщение08.04.2022, 10:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
Серией замен получил, что интеграл, с точностью до константы, приводится к интегралу $$\int\limits_0^\infty\frac{(t-1)(t^2-6t+1)\ln t}{\sqrt t(t^4+4t^3+70t^2+4t+1)}dt.$$
Нули знаменателя находятся из решения симметрического уравнения и в целом понятно, что можно рассмотреть стандартный контур в комплексной плоскости и свести всё к вычислению вычетов в четырёх полюсах. Видимо, оттуда же и золотое сечение вылезает. Но это всё рутина и заниматься этим уже неохота. Может, есть какой-то более ловкий способ, но я его не нашёл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взять интеграл
Сообщение08.04.2022, 18:21 
Заблокирован


16/04/18

1129
Похоже на тип задач, которые тут уже обсуждались - взять производную от здоровой дроби, а потом мучить людей обратной задачей на интеграл. Непонятно, зачем это. Над такими не особо осмысленными задачами можно полжизни думать над каждым интегралом, зачем только? Или я неправ, и этот интеграл возник в реальной задаче?

 Профиль  
                  
 
 Re: Взять интеграл
Сообщение10.04.2022, 07:32 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
thething в сообщении #1552144 писал(а):
Серией замен получил, что интеграл, с точностью до константы, приводится к интегралу
Аналогичная история$$I=16\int\limits_1^\infty\frac{(x^2-1)((x^2-1)^2-4x^2)}{(x^2+1)^4+64x^4}\ln{x}\,dx$$Если пытаться брать по частям, вылезает $\operatorname{Li}_2$
Вольфрам берет неопределенный интеграл, не для слабонервных!

 Профиль  
                  
 
 Re: Взять интеграл
Сообщение10.04.2022, 09:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО

(Оффтоп)

novichok2018 в сообщении #1552183 писал(а):
Или я неправ, и этот интеграл возник в реальной задаче?

Будь так, задачу поместили бы в Математика (общие вопросы) или ПРР. А олимпиадный раздел как раз для таких.
Интересно, кстати, что общий раздел по назначению практически не используется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взять интеграл
Сообщение10.04.2022, 11:12 
Заблокирован


16/04/18

1129
По частям сводит к интегралу от дроби без логарифма, но от этого легче не становится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взять интеграл
Сообщение10.04.2022, 14:58 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
Может быть удачнее остаться в тригонометрической форме$$I=16\int\limits_0^{\pi/4}\frac{\cos{2t}\,{\cos{4t}}}{1+4\sin^4{2t}}\ln{\ctg{t}}\,dt$$поскольку $\left(\ln\ctg{t}\right)^\prime=-\dfrac2{\sin{2t}}$ и логарифм как-то более уместно начинает выглядеть:$$I=16\int\limits_0^{\pi/4}\frac{f\!\ddot{f}(\dot{f}^{2}-1)}{\dot{f}^{4}+1}\,dt$$где $f(t)\equiv2\sqrt2\ln\ctg{t}, \dot{f}\equiv\dfrac{df}{dt}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Взять интеграл
Сообщение10.04.2022, 17:05 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
Да, кажется, это $$I=16\int\limits_0^{\pi/4}\frac{f\!\ddot{f}(\dot{f}^{2}-1)}{\dot{f}^{4}+1}\,dt$$должно браться - дважды по частям: сначала заносим под дифференциал $\dfrac{\ddot{f}(\dot{f}^{2}-1)}{\dot{f}^{4}+1}$, потом два кусочка от первообразной этого хозяйства - $\ln\left(\pm\dot{f}^{2}+\sqrt2\dot{f}\pm1\right)$, и в третий раз получающийся интеграл тоже берется в элементарных функциях. Т.е. по сути трижды интегрируем $\dfrac{u^2-1}{u^4+1}\,du$. Мог наврать конечно, попробую проверить позже

 Профиль  
                  
 
 Re: Взять интеграл
Сообщение16.04.2022, 02:05 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
waxtep в сообщении #1552310 писал(а):
потом два кусочка от первообразной этого хозяйства - $\ln\left(\pm\dot{f}^{2}+\sqrt2\dot{f}\pm1\right)$, и в третий раз получающийся интеграл тоже берется в элементарных функциях. Т.е. по сути трижды интегрируем $\dfrac{u^2-1}{u^4+1}\,du$. Мог наврать конечно, попробую проверить позже
Нет, это, к сожалению, ерунда, основанная на ошибочном использовании $d\dot{f}$ вместо $dt$. До этого места корректно, с точностью до поправки коэффициента в $f(t)\equiv\dfrac1{2\sqrt2}\ln\ctg{t}$. Впрочем, толку от этого не видно

 Профиль  
                  
 
 Re: Взять интеграл
Сообщение20.04.2022, 12:30 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Введем параметр $a$ под знаком логарифма:$\ln \dfrac {2x^2+ax+1}{2x^2-ax+1}$. Производная интеграла по параметру равна:$$I'(a)=\int \limits _{-1}^1\sqrt {\dfrac {1+x}{1-x}}\ \left (\dfrac 1{\sqrt {2x^2+ax+1}}+\dfrac 1{\sqrt {2x^2-ax+1}}\right )dx$$
Очевидно $I(0)=0$.После замены:$t=\sqrt {\dfrac {1+x}{1-x}}$
$$I'(a)=4\int \limits _0^{\infty }t^2\left (\dfrac 1{(3+a)t^4-2t^2+(3-a)}+\dfrac 1{(3-a)t^4-2t^2+(3+a)}\right )dt\eqno (1)$$В (1) делаем замену $t\rightarrow \frac 1t:$
$$I'(a)=\int \limits _0^{\infty }\left (\dfrac 1{(3+a)t^4-2t^2+(3-a)}+\dfrac 1{(3-a)t^4-2t^2+(3+a)}\right )da\eqno (2)$$Сложим (1) и (2), после интегрирования с еще одной заменой (с учетом $(1+\frac 1{u^2})du=d(u-\frac 1u))$в конце концов получим $$I(2)=\sqrt {2}\pi \int \limits _0^2\left (\dfrac 1{\sqrt {3-a}}+\dfrac 1{\sqrt {3+a}}\right )\dfrac {da}{\sqrt {\sqrt {9-a^2}-1}}\eqno (3)$$
Интеграл (3) уже берется (еще три замены :-) ), до конца доводить не стал.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group