Производная и равномерная непрерывность

[EminentVictorians]

Пусть есть функция $f$, заданная, пусть будет на интервале $I$. Известно, что если производная $f'$ функции $f$ ограничена, то $f$ равномерно непрерывна на $I$. У меня вопрос, что будет если $f'$ таки неограничена? Понятно, что одного этого мало, чтобы утверждать, что $f$ не будет являться равномерно непрерывной. Но может быть есть какие-нибудь условия на производную, из которых будет вытекать отсутствие равномерной непрерывности? Ну там, навскидку, если производная растет по модулю как-нибудь слишком быстро или что-нибудь в таком духе. И аналогичный вопрос не про отсутствие, а уже про присутствие равномерной непрерывности у функции, имеющей неограниченную производную. Что должно быть с этой неограниченной производной, чтобы можно было утверждать, что сама функция равномерно непрерывна?

[ctdr]

Про вторую часть.

Общеизвестен пример функции, непрерывной на $\mathbb R$, но недифференцируемой ни в одной точке на $\mathbb R$.

Непрерывная функция на компакте, сами знаете какая. (Да, я обратил внимание что у Вас интервал, а не отрезок. Но мысли должно быть достаточно для самостоятельных попыток.)

UPD: Упс, я невнимательно прочитал. Вы спрашиваете про именно дифференцируемую функцию. Но мне кажется, нетрудно модифицировать тот пример (недиф. функции), и будет Вам равном. непр. при неогр. производной.

[EminentVictorians]

ctdr в сообщении #1552384 писал(а):

Непрерывная функция на компакте, сами знаете какая.

Равномерно непрерывна. Это понятно. Но ведь на то у меня и интервал. Можно побольше информации?

-- 11.04.2022, 23:26 --

ctdr в сообщении #1552384 писал(а):

и будет Вам равном. непр. при неогр. производной.

Равномерно непрерывные функции с неограниченной производной бывают, да. Вопрос: чего надо сделать с производной, чтобы функция перестала быть равномерно непрерывной?

[ctdr]

Обратите внимание, я обновил свой (первый) пост.

Я здесь имел ввиду что если интервал конечен, то его можно вложить в отрезок.

Можно (кмк) построить пример дифф-ой ф-ции с неогр. производной, которая равномерно непр. на интервале. Причём концы интервала роли не играют, такую функцию можно указать на всей $\mathbb R$.

А значит, кмк, нужно думать над уточнением формулировки вопроса.

[EminentVictorians]

ctdr в сообщении #1552386 писал(а):

Можно (кмк) построить пример дифф-ой ф-ции с неогр. производной, которая равномерно непр. на интервале.

Я ведь не спорю, можно. Меня интересует, при каких условиях станет нельзя. Точная формулировка вопроса: какие свойства должны быть у неограниченной производной некоторой функции, определенной на интервале, чтобы утверждать, что эта функция не является равномерно непрерывной на этом интервале? "Не является" можно поменять на "является" и это уже другой вопрос, тоже интересный.

[ctdr]

EminentVictorians в сообщении #1552387 писал(а):

Я ведь не спорю, можно. Меня интересует, при каких условиях станет нельзя.

А это первый Ваш вопрос из ОП. Я по нему не писал. Надо подумать... Я писал по второму.

> ...это уже другой вопрос, тоже интересный

Моя мысль была в том что его (=второй вопрос) нужно как-то по-другому сформулировать. С учётом того что "Я ведь не спорю, можно".

Я вижу в моей помощи Вы не нуждаетесь :) Думал может помогу здешним взрослым дядям-тётям, чтобы они не тратили время. Но оказалось что не помогу.

[EminentVictorians]

ctdr в сообщении #1552388 писал(а):

Моя мысль была в том что его (=второй вопрос) нужно как-то по-другому сформулировать.

Я совсем не против. Просто хочу разобраться в связи производной и равномерной непрерывности. На отрезке все понятно, поэтому содержательная часть этого всего относится к интервалам.

Если производная ограничена, то функция равномерно непрерывна. А если неограничена, то может быть и так и не так. Вот я и хочу понять, когда так, а когда не так. Иными словами, хочется найти какое-нибудь внутреннее свойство производной, чтобы оно гарантировало равномерную непрерывность функции. Или гарантировало ее отсутствие.

[ctdr]

ctdr в сообщении #1552386 писал(а):

Причём концы интервала роли не играют

Это конечно лажа, извиняюсь.

[Padawan]

EminentVictorians в сообщении #1552389 писал(а):

Иными словами, хочется найти какое-нибудь внутреннее свойство производной, чтобы оно гарантировало равномерную непрерывность функции.

Сходится несобственный интеграл $\int\limits_{a+0}^{b-0} f'(x) dx$. Это необходимое и достаточное условие равномерной непрерывности $f(x)$ на конечном интервале $(a,b)$.

[Null]

Padawan в сообщении #1552411 писал(а):

Сходится несобственный интеграл $\int\limits_{a+0}^{b-0} f'(x) dx$.

Интеграл берется по Лебегу? По Риману он просто может быть не определен $f(x)=x^2\sin(\frac{1}{x^2}), f(0)=0$ на $(-1;1)$.$f'$ не ограниченна в любой окрестности 0.

[Padawan]

Null
По Данжуа.

[Null]

Т.е. Функция просто имеет просто пределы на концах? Ну да.