задачка по теории групп (группа подстановок, транзитивность)

[Alexey_57]

Задача:
Пусть p - простое число, и пусть G - группа подстановок на конечном множестве X такая, что для каждого x из X найдется g из G порядка p со свойством fix (g) = { x }.
Доказать, что G - транзитивная группа.

Помогите решить, запутался уже.

я пытаюсь решить от противного.
Группа транзитивна, если в X имеется только одна орбита. Предполагаю, что орбиты две. Доказать, что предположение неверно, не получается.

з.ы. может быть у кого есть книга Супруненко Д. А. "Группы подстановок" в электронном виде?

[VAL]

Alexey_57 писал(а):

Задача:
Пусть p - простое число, и пусть G - группа подстановок на конечном множестве X такая, что для каждого x из X найдется g из G порядка p со свойством fix (g) = { x }.
Доказать, что G - транзитивная группа.

Схема доказательства может быть такой:
Зафиксировать элемент x из X. Доказать, что длина орбиты x сравнима с 1 по модулю p. Преположить, эта длина не совпадает с мощностью X. И, рассмотрев, элемент G порядка p, оставляющий на месте элемент из X, не входящий в орбиту x, прийти к противоречию.

Примеры групп, описанных в условии, дают некоммутативные группы порядка pq, где $q\equiv1(\mod p)$.
При p = 2 это группы диэдра.
Пример для нечетного p - подгруппа $S_7$, порожденная подстаноками $(1 2 3 4 5 6 7)$ и $(1 4 2)(3 5 6)$