Задача на среднее арифметическое

[nnosipov]

artempalkin в сообщении #1551766 писал(а):

Или есть прямо-таки очевидный пример?

Есть очевидные соображения, которые позволяют построить такой пример: надо сделать так, чтобы не только все $i_k$ были близки к $\varepsilon$, но и чтобы сумма всех их отклонений от $\varepsilon$ была мала настолько, насколько это нужно. То, что так можно сделать, неудивительно, поскольку сходящиеся ряды из положительных членов все-таки существуют (Зенон с его черепахой как бы намекают).

[Евгений Машеров]

Тогда из

Vladimir Pliassov в сообщении #1551692 писал(а):

${\frac {\Delta+\iota_1+\iota_2+ \ldots+\iota_n}{n+1}}<\varepsilon$

можно получить $\Delta+\iota_1+\iota_2+ \ldots+\iota_n<(n+1)\varepsilon $ откуда вычитанием правой части из обеих получаем
$(\Delta-\varepsilon)+(\iota_1-\varepsilon)+ \ldots+(\iota_n-\varepsilon)<0$
И если существует $\delta$, указанная выше, неравенство выполняется при $n>\frac{\Delta-\varepsilon} \delta$
А если йоты могут сколь угодно приближаться к эпсилону, то возможна ситуация, когда теорема неверна.

[Vladimir Pliassov]

Да, теперь вижу, что при условии $0<\iota_n<\varepsilon<\Delta \;\;\; n=\overline {1,\infty}$ для произвольных $\iota$ не существует такого $n$, чтобы было

$${\frac {\Delta+\iota_1+\iota_2+ \ldots+\iota_n}{n+1}}<\varepsilon$$

Спасибо!

[Vladimir Pliassov]

Но тогда возникает вопрос.

Пусть имеется положительная, неограниченная, (строго) возрастающая последовательность $x_n.$ Тогда имеется и последовательность промежутков $x_n-x_{n-1}.$

Пусть существует

$$\lim \limits_{n\to \infty}(x_n-x_{n-1})=l \eqno (20),$$

где $l$ -- конечное (очевидно, положительное) число, и пусть при любом $n$ будет $x_n-x_{n-1}>l.$

Поскольку существует (20), для любого $\varepsilon>0$ найдется такое $N,$ что при $n>N$ будет $(x_n-x_{n-1})-l<\varepsilon.$

Разность $(x_n-x_{n-1})-l$ может быть либо

$<\varepsilon$ (во всяком случае при $n>N$, а также в некоторых случаях при $n\leqslant N$), либо

$\geqslant \varepsilon$ (в некоторых случаях при $n\leqslant N$).

При $<\varepsilon$ обозначим ее через $\iota$, при $\geqslant \varepsilon$ -- через $\Delta$.

Пусть разностей $\geqslant \varepsilon$ будет $k$ штук (их имеется конечное число), тогда имеем $\Delta_1, \Delta_2, \ldots, \Delta_k$ ( $k$ фиксировано).

Общим обозначением для индекса при $\iota$ возьмем $m,$ то есть имеем $\iota_1, \iota_2, \ldots, \iota_m, \ldots \;\;\; m=\overline {1, \infty},$ причем все $\iota$ записываются в том порядке, в каком они появляются по мере развертывания последовательности $(x_n-x_{n-1})-l$ (часть из них может иметь некоторые из номеров от $1$ до $N$, остальные -- номера, большие $N$).

Пусть среди разностей $\Delta_1, \Delta_2, \ldots, \Delta_k$ имеется $\Delta_s>\varepsilon.$

Уже доказано, что при условии $0<\iota_m<\varepsilon<\Delta_s \;\;\; m=\overline {1,\infty}$ для произвольных $\iota$ не существует такого $m$, чтобы было

$${\frac {\Delta_s+\iota_1+\iota_2+ \ldots+\iota_m}{m+1}}<\varepsilon,$$

тем более его не существует для

$${\frac {\Delta_1+ \Delta_2+ \ldots+ \Delta_k+\iota_1+\iota_2+ \ldots+\iota_m}{m+k}}<\varepsilon,$$

то есть могут найтись такие $\iota$, при которых

$${\frac {\Delta_1+ \Delta_2+ \ldots+ \Delta_k+\iota_1+\iota_2+ \ldots+\iota_m}{m+k}}>\varepsilon,$$

или

$$l+{\frac {\Delta_1+ \Delta_2+ \ldots+ \Delta_k+\iota_1+\iota_2+ \ldots+\iota_m}{m+k}}>l+\varepsilon.$$

При этом

$$l+\frac {\Delta_1+ \Delta_2+ \ldots+ \Delta_k+\iota_1+\iota_2+ \ldots+\iota_m}{m+k}=\frac {(m+k)l+\Delta_1+ \Delta_2+ \ldots+ \Delta_k+\iota_1+\iota_2+ \ldots+\iota_m}{m+k}=$$

$$=\frac {(l+\Delta_1)+ (l+\Delta_2)+ \ldots+ (l+\Delta_k)+(l+\iota_1)+(l+\iota_2)+ \ldots+(l+\iota_m)}{m+k}=\frac {\sum (x_n-x_{n-1})}{n}$$

при $n=m+k$.

Таким образом,

$$\frac {\sum (x_n-x_{n-1})}{n}>l+\varepsilon\Rightarrow \frac {\sum (x_n-x_{n-1})}{n}-l>\varepsilon,$$

то есть среднее арифметическое промежутков $x_n-x_{n-1}$ не стремится к пределу, равному

$$\lim \limits_{n\to \infty}(x_n-x_{n-1})=l \eqno (20).$$

При этом

$$\sum (x_n-x_{n-1})=(x_1-0)+(x_2-x_1)+(x_3-x_2)+\ldots+(x_n-x_{n-1})=x_n$$

($x_n$ равен сумме промежутков $x_n-x_{n-1}$), поэтому и

$$\frac {x_n}{n}$$

не стремится к пределу $l$.

Соответственно, для последовательности промежутков $y_n-y_{n-1},$ базирующейся на положительной, неограниченной, (строго) возрастающей последовательности $y_n,$ для которой существует

$$\lim \limits_{n\to \infty}(y_n-y_{n-1})=p \eqno (21),$$

где $p$ -- конечное (очевидно, положительное) число и при любом $n\;\;\; y_n-y_{n-1}>p,$

$$\frac {y_n}{n}$$

не стремится к пределу $p$.

Однако, поскольку

$$\frac {\lim \limits _{n\to \infty }(x_n-x_{n-1})}{\lim \limits _{n\to \infty }(y_n-y_{n-1})}=\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}}=\frac {l}{p},$$

то по теореме Штольца

Цитата:

Пусть $x_{n}$ и $y_{n}$ — две последовательности вещественных чисел, причём $y_{n}$ положительна, неограничена и строго возрастает (хотя бы начиная с некоторого члена). Тогда, если существует предел

$$\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}},$$

то существует и предел

$$\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}},$$

причём эти пределы равны.

имеем

$$\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}=\frac {l}{p},$$

и это противоречит тому, что

$$\frac {x_n}{n}: \frac {y_n}{n}=\frac {x_n}{y_n}$$

не стремится к $\frac {l}{p},$ не стремится, так как ни

$$\frac {x_n}{n}$$

не стремится к $l$, ни

$$\frac {y_n}{n}$$

не стремится к $p.$

Как же так?

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1551963 писал(а):

Уже доказано, что при условии $0<\iota_m<\varepsilon<\Delta_s \;\;\; m=\overline {1,\infty}$ для произвольных $\iota$ не существует такого $m$, чтобы было

В данном случае $\iota_m\to0$ при $m\to\infty$, и при добавлении этого условия к утверждению в первом сообщении оно становится верным.

[Vladimir Pliassov]

То есть, если есть пределы промежутков $x_n-x_{n-1}$ и $y_n-y_{n-1}:$

$$\lim \limits_{n\to \infty}(x_n-x_{n-1})=l \eqno (20)$$

и

$$\lim \limits_{n\to \infty}(y_n-y_{n-1})=p \eqno (21),$$

то есть и пределы средних арифметических этих промежутков

$$\frac {\sum (x_n-x_{n-1})}{n}=\frac {x_n}{n}$$

и

$$\frac {\sum (y_n-y_{n-1})}{n}=\frac {y_n}{n}:$$

$$\lim \limits_{n\to \infty}\frac {x_n}{n}$$

и

$$\lim \limits_{n\to \infty}\frac {y_n}{n},$$

причем

$$\lim \limits_{n\to \infty}\frac {x_n}{n}=\lim \limits_{n\to \infty}(x_n-x_{n-1})=l$$

и

$$\lim \limits_{n\to \infty}\frac {y_n}{n}=\lim \limits_{n\to \infty}(y_n-y_{n-1})=p,$$

откуда

$$\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}=\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}}=\frac {l}{p},$$

то есть доказана теорема Штольца для этого частного случая (причем для конечного предела).

Надо посмотреть, нельзя ли доказать ее подобным путем также и для каких-то других частных случаев.