Слабая сходимость + фундаментальность = ?

[artempalkin]

Верно ли будет, что слабая сходимость + фундаментальность = сходимость?
В полных пространствах да, т.к. фундаментальность уже есть сходимость (а обычный и слабый пределы совпадают).
А если пространство неполно?

Наверное, задача не слишком практичная (все же неполные пространства не рассматриваются так пристально), но все же интересно было бы понять, а каких-то ясных рассуждений вывести не удается.

[thething]

Вроде это просто следует из следствия теоремы Хана-Банаха, о том, что $\|x_n-x_0\|=|\varphi(x_n-x_0)|$ для подходящего функционала $\varphi$ единичной нормы. Ну, надо только произнести пару заклинаний про переход к подпоследовательности, чтобы обеспечить "ненулёвость" вектора.

-- 05.04.2022, 20:00 --

artempalkin в сообщении #1551927 писал(а):

Наверное, задача не слишком практичная

Мы их любим не за практичность.

[artempalkin]

(Оффтоп)

Велика теорема Хана-Банаха, и всесильно следствие ее!

Но я что-то не очень пока понял.
Я так понимаю, что вернее было бы $||x_n-x_0||=\varphi_n(x_n-x_0)$, потому что для каждого вектора $x_n-x_0$ это будет свой функционал... и что из этого следует? :)

[thething]

artempalkin в сообщении #1551934 писал(а):

для каждого вектора $x_n-x_0$ это будет свой функционал

Да, так.

artempalkin в сообщении #1551934 писал(а):

и что из этого следует?

Вычтите и прибавьте в скобках $x_m$. Дальше -- только определения.

[Padawan]

artempalkin
Пусть $\|x_n-x_0\|\to a>0$. Зафиксируйте номер $n$ такой, что $\|x_n-x_0\|>\frac 23a$ и $\|x_n-x_m\|<a/3$ при всех $m>n$. Покажите, что $\varphi(x_m-x_0)\not\to0$ при $m\to\infty$.

[thething]

Кстати, насчёт "непрактичности". Вспомнил тут, что это утверждение можно применить для доказательства того, что компактный оператор переводит слабо сходящуюся последовательность в сильно сходящуюся. А это полезно для проверки некомпактности конкретных операторов, да и вообще...

[artempalkin]

thething в сообщении #1551937 писал(а):

Вспомнил тут, что это утверждение можно применить для доказательства того, что компактный оператор переводит слабо сходящуюся последовательность в сильно сходящуюся

Да, всвязи с этой задачей этот вопрос и возник. Но только там было гильбертово пространство, поэтому как бы там все просто и понятно.

Возьмем $\varepsilon>0$ такие $n>N$ и $\forall m>n$, что $||x_n-x_m||\leqslant\varepsilon$
$||x_n-x_0||=|\varphi(x_n-x_0)|\leqslant |\varphi(x_n-x_m)|+|\varphi(x_0-x_m)|\leqslant ||\varphi||\cdot ||x_n-x_m||+|\varphi (x_0)-\varphi(x_m)|$
Но что-то вроде не получается... первое слагаемое меньше эпсилон вне зависимости от $m$, а вот второе непонятно... зависимость от $m$ должна уйти вроде бы, но нет...

[thething]

artempalkin в сообщении #1551942 писал(а):

а вот второе непонятно

А тут слабая сходимость используется. Только всё-таки про номер $n$ у функционала не забывайте. Важно, что второе слагаемое фактически зависит только от $m$ при фиксированном $n$.

[artempalkin]

thething в сообщении #1551944 писал(а):

Только всё-таки про номер $n$ у функционала не забывайте.

В том-то и дело, что я помню.
$|\varphi_n(x_0)-\varphi_n(x_m)|$ будет, конечно, сколь угодно мал, но когда конкретно он станет достаточно мал, зависит от $m$, что нам не подходит...

-- 05.04.2022, 19:13 --

thething в сообщении #1551944 писал(а):

Важно, что второе слагаемое фактически зависит только от $m$ при фиксированном $n$.

Так так ведь не должно быть

-- 05.04.2022, 19:17 --

Да нет, все правильно вы говорите. Я просто немного отвлекся от того, что мы доказываем, и в голове у меня критерий Коши.

[thething]

artempalkin в сообщении #1551945 писал(а):

Так так ведь не должно быть

Этой мысли я не понял.

Просто перейдите к пределу по $m$ -- и всё. Какие проблемы? Ещё раз, $n$ -- достаточно большое, но фиксированное. И для всех таких $n$ получается, что-то типа $\|x_n-x_0\|\le2\varepsilon$. Осознайте этот момент.

[artempalkin]

Получается, что
$||x_n-x_0||\leqslant ||x_n-x_m|| +|\varphi(x_m)-\varphi(x_0)|<\varepsilon +|\varphi(x_m)-\varphi(x_0)|$
Это будет верно $\forall m$ начиная с некоторого номера (ну и $m>n$). Можно просто устремить $m\to \infty$ и получить желаемое.

-- 05.04.2022, 19:34 --

thething
Да, спасибо большое! Получается, что не только в полных пространствах, но и в просто нормированных компактные операторы будут вполне непрерывными (то есть отображать слабо сходящиеся последовательности в сходящиеся).

Интересно, будет ли наоборот (то есть будут ли ВНО компактными). Там используется теорема о том, что из слабо сходящейся последовательности можно выделить ограниченную, но она верна даже не просто для банахова пространства, но для рефлексивного и сепарабельного (в том доказательстве, которое я знаю)

[thething]

artempalkin в сообщении #1551948 писал(а):

Там используется теорема о том, что из слабо сходящейся последовательности можно выделить ограниченную, но она верна даже не просто для банахова пространства, но для рефлексивного и сепарабельного (в том доказательстве, которое я знаю)

Только наоборот -- из ограниченной выделить слабо сходящуюся подпоследовательность. Ну и требование сепарабельности можно отбросить, если перейти к рассмотрению замыкания линейной оболочки последовательности. А вот рефлексивность, конечно же, по существу (достаточно рассмотреть любой ограниченный некомпактный оператор в $l_1$).

[artempalkin]

thething в сообщении #1551950 писал(а):

если перейти к рассмотрению замыкания линейной оболочки последовательности

Но если будет слабо сходиться на подпространстве, то будет ли слабо сходиться на всем пространстве?
Наверное, да, но я что-то все же не очень представляю механизм. Не без вездесущей теоремы Хана-Банаха, конечно.

(Оффтоп)

К слову о неунифицированности функана. В разных источниках разная терминология настолько, что Моисеев в своих лекциях сначала называет линейными многообразиями множества, замкнутые относительно операций сложения и умножения на число, а подпространствами - замыкания линейных многообразий
Впоследствии же он ничтоже сумняшеся начинает называть первые подпространствами, а вторые - замкнутыми подпространствами

Получается, в нормированном рефлексивном пространстве вполне непрерывные операторы будут компактными. Соответственно, гильбертовы - это сильный частный случай

-- 05.04.2022, 20:05 --

Padawan в сообщении #1551936 писал(а):

Пусть $\|x_n-x_0\|\to a>0$. Зафиксируйте номер $n$ такой, что $\|x_n-x_0\|>\frac 23a$ и $\|x_n-x_m\|<a/3$ при всех $m>n$. Покажите, что $\varphi(x_m-x_0)\not\to0$ при $m\to\infty$.

Тружусь, но пока что что-то не получается...

[thething]

artempalkin в сообщении #1551951 писал(а):

Но если будет слабо сходиться на подпространстве, то будет ли слабо сходиться на всем пространстве?

Будет (более того, верно и обратное). Да, Хан и Банах помогают, это очень простое утверждение.

artempalkin в сообщении #1551951 писал(а):

нормированном рефлексивном пространстве вполне непрерывные операторы будут компактными

Я вообще не различаю эти понятия, ну, так воспитывали.

artempalkin в сообщении #1551951 писал(а):

Впоследствии же он ничтоже сумняшеся начинает называть первые подпространствами, а вторые - замкнутыми подпространствами

Бывает, особенно, когда хочется подчеркнуть важность замкнутости (как в теореме о существовании проекции), а определение подпространства было давно-давно.

[artempalkin]

Подумал тут на досуге над содержанием этой задачи и пришел к выводу, что это на самом деле очевидно, что слабая сходимость+фундаментальность=сходимость из следующих соображений:

если пространство полно, то доказывать, как говорят, нечего. Если неполно, то пусть $x_n$ слабо сходится к $x$ и фундаментальна. Пополним пространство по Хаусдорфу. Тогда $x_n$ начнет сходится к чему-то, но она не может сходиться ни к чему, кроме $x$ (из единственности слабого предела). А значит она и раньше сходилась к $x$.