Сумма корней..

[paranoidandroid]

Найдите все значения параметра $a$ при которых сумма всех корней уравнения $\sin{(\sqrt{ax-x^{2}})}=0$ равна 100.

Решение:

$x^2-ax+{\pi}^2n^2=0 , n \in N $ (1)

$D=a^2-4{\pi}^2n^2$

Ясно, что дискриминант уравнения (1) становится отрицательным после некоторого $n$.

$\begin{cases} a^2-4{\pi}^2n^2 \geq 0 \\ a^2-4{\pi}^2(n+1)^2 < 0 \end{cases}$ (2)

По теореме Виета $x_{1}+x_{2}=a$. И следовательно $an=100$ (Это тот $n$, после которого дискриминант становится отрицательным). здесь много вариантов
$ (a= 1,2,4,5,10,20,25,100 . n=100,50,25,20,10,5,4,1)$.
Но дело в том, что ни одна из этих $(a,n)$ пар не удовлетворяет систему (2)..

[mihaild]

$a$ не обязано быть целым.

(Оффтоп)

paranoidandroid в сообщении #1551592 писал(а):

ни одна из этих $(a,n)$ пар не удовлетворяет систему (2)

Обычно говорят "не удовлетворяет системе".

[TOTAL]

$a(n+1)=100$
Но всё равно не получается

[lel0lel]

Как уже написали:$a(n_{max}+1)=100$. Выражаем $n_{max}$ и в систему. А вообще школьник бы решал, находя максимум параболы с ветвями вниз, затем неравенство на $n_{max}$, и использовать $n_{max}=100/a-1$. Тогда получим двойное неравенство.

[lel0lel]

Ещё надо выяснить вопрос: если дискриминант равен нулю, то корней два или один?

[Someone]

lel0lel в сообщении #1551610 писал(а):

Ещё надо выяснить вопрос: если дискриминант равен нулю, то корней два или один?

В школе всегда считалось, что один.

[lel0lel]

Удобнее двойное неравенство составлять на $n_{max}$, так как это натуральное число.

Someone в сообщении #1551614 писал(а):

В школе всегда считалось, что один.

всегда считал это неудобным соглашением. Интересно теорему Виета формулируют с оговоркой, что она неприменима в случае нулевого дискриминанта.

[paranoidandroid]

не понял.. Почему $a(n_{\max}+1)=100$ ? для $n=n_{\max} +1$ уравнение не имеет корней.. ?

[lel0lel]

Учтены решения при $n=0$. То есть всего пар корней $n_{max}+1$. Сегодня с утра проверил, что возможно только $n_{max}=3$, соответственно единственное значение параметра $a=25$.

[paranoidandroid]

(Оффтоп)

большое спасибо ^.^

-- 02.04.2022, 22:11 --

lel0lel в сообщении #1551601 писал(а):

А вообще школьник бы решал, находя максимум параболы с ветвями вниз

Что дает это условие?

[lel0lel]

paranoidandroid в сообщении #1551688 писал(а):

Что дает это условие?

Нули квадратичной функции $0, a$. Очевидно нас интересует только случай $a>0$, иначе сумма корней будет отрицательной или нулевой. Вершина параболы $(a/2, a^2/4)$, тогда максимальное значение корня квадратного из квадратичной функции равно $a/2$, причём область определения этой функции (речь о корне квадратном) $0\leq x\leq a$. Функция возрастает, достигает максимума, затем убывает. Следовательно с прямой $y=\pi n$ ($n\in N$), график имеет две общие точки тогда и только тогда, когда $0\leq n\leq n_{max}$, где $n_{max}$ целое такое что $\pi n_{max}\leq a/2< \pi(n_{max}+1)$ (если прямая проходит через вершину, то я всё равно считаю, что две), если это условие невыполнено, то общих точек с графиком нет. Поскольку график симметричен относительно прямой $x=a/2$, то при каждом допустимом $n$, сумма двух абсцисс точек пересечения (корней) равна $a$. Дальше всё как выше, то есть $a=100/(n_{max}+1)$ и подставляем это в двойное неравенство, записанное выше.

[paranoidandroid]

(Оффтоп)

Еще раз спасибо <3