Объем тела с помощью тройного интеграла

[MestnyBomzh]

Добрый день! Вспоминаю материал матана, решаю задачку по нахождению объема трехмерного тела, могли бы проверить мой ход решения, всё ли верно?
Задача: Найти объем тела, прямоугольные декартовы координаты точек которого удовлетворяют
неравенствам:
$x^2+y^2+z^2 \leq 4 (I), x^2+y^2 \leq 1 (II), x^2+y^2 \leq z^2 (III), z \geq 0$

Решение:
В трехмерном пространстве $I$ - шар с центром в $(0,0,0)$, $II$ - цилиндр с центром проходящим также через $(0,0,0)$, наконец $III$ - конус с вершиной в $(0,0,0)$. Я представил себе их визуально и решил разбить область на две:
1) область до пересечения конуса и цилиндра (их пересечение это $z=1$). Обозначим этот объем через $I_1$

2) область выше, чем их пересечение, тут уже конус не будет играть никакой роли. Обозначим этот объем через $I_2$

$1. I_1$. Делаем цилиндрическую замену. Из неё я получаю, следующие пределы и интеграл:

$$\int\limits_{0}^{2 \pi} d \varphi \int\limits_{0}^{1} dr \int\limits_{r}^{1}r dz = \frac{\pi}{3}$$

$2. I_2$. Делаем снова цилиндрическую замену, я получил следующий интеграл и пределы:

$$\int\limits_{0}^{2 \pi} d \varphi \int\limits_{0}^{1} d r \int\limits_{1}^{\sqrt{4-r^2}} r dz = \frac{13 \pi}{3} - 2 \pi \sqrt{3}$$

Суммируем и получаем ответ: $\frac{14 \pi}{3} - 2 \pi \sqrt{3}$

[thething]

Это всё верно, но...

Вам же сделали такой подарок -- записали область системой неравенств. Если сделать переход в цилиндрические координаты сразу, то можно понять, что на угол никаких ограничений нет, а между $r$ и $z$ есть система неравенств. Построение области, определяемой этими неравенствами в системе координат $rz$, даёт в итоге только один интеграл, эквивалентный, впрочем, сумме двух Ваших. Заметьте, ничего мысленно визуализировать вообще не нужно.

[MestnyBomzh]

thething в сообщении #1551213 писал(а):

Вам же сделали такой подарок -- записали область системой неравенств.

Спасибо за ответ! я попробовал, получилось вот так:

$$\int\limits_{0}^{2 \pi} d \varphi \int\limits_{0}^{1} dr \int\limits_{r}^{\sqrt{4-r^2}} r dz = \frac{14 \pi}{3} - 2 \pi \sqrt{3}$$

Действительно получилось совсем просто!

Я решил разбить на два интеграла из-за аналогии с 2D пространством, где мы всегда разбиваем на два разных куска, если есть "стык" функций