Свойства замыкания множества в метрическом пространстве.

[kakatello]

В лекции по функциональному анализу были введены различные точки для множества A в метрическом пространстве X

$\{ x \in X \mid \exists r > 0 : U_r(x) \subset A} \}$ - внутренние точки
$\{ x \in X \mid \forall r > 0 : U_r(x) \bigcap A = \infty} \}$ - предельные точки
$\{ x \in X \mid \exists r > 0 : U_r(x) \bigcap A = x} \}$ - изолированные точки
$\{ x \in X \mid \forall r > 0 : U_r(x) \bigcap A \neq \emptyset} \}$ - точки прикосновения

Я так понял, что точки прикосновения есть все точки множества A и предельные точки не принадлежащие множеству A.

Затем вводится понятие замыкания множества:
$\overline{A}$ - замыкание множества A есть все точки прикосновения множества A

После этого рассматривается свойство замыкания:
$\overline{A} = \{ x \in X \mid \exists x_n \in A, \text{т. ч.}\ x_n \rightarrow x \}$
и доказательство этого свойтсва:
"Действительно, $x \in \overline{A}$ тогда и только тогда, когда $\exists x_n \in A, \text{т. ч.}\ x_n \in A \bigcap U_{1/n} $, что равносильно неравенству $p(x,x_n) < 1/n$. Отсюда следует, что $ x_n \rightarrow x $."

Не мог бы кто-нибудь, пожалуйста, объяснить, почему мы можем построить такую последовательность шаров, для изолированных точек множества A. Ведь по определению изолированной точки, у нее есть шар, в котором нет точек множества A кроме нее самой.

[mihaild]

kakatello в сообщении #1551189 писал(а):

$U_r(x) \bigcap A = \infty$

Так писать нельзя. Максимум можно $|U_r(x) \cap A| = \infty$, но лучше или словами, или вообще эквивалентное $\forall r > 0: |U_r(x) \cap A| > 1$.

kakatello в сообщении #1551189 писал(а):

Ведь по определению изолированной точки, у нее есть шар, в котором нет точек множества A кроме нее самой.

Ну и что? От нас никто не требует чтобы точки последовательности были различны.

[kakatello]

mihaild в сообщении #1551191 писал(а):

kakatello в сообщении #1551189 писал(а):

$U_r(x) \bigcap A = \infty$

Так писать нельзя. Максимум можно $|U_r(x) \cap A| = \infty$, но лучше или словами, или вообще эквивалентное $\forall r > 0: |U_r(x) \cap A| > 1$.

kakatello в сообщении #1551189 писал(а):

Ведь по определению изолированной точки, у нее есть шар, в котором нет точек множества A кроме нее самой.

Ну и что? От нас никто не требует чтобы точки последовательности были различны.

И правда, как это я сам не додумался, спасибо.