Задача, "Динамика материальной точки". Обсуждение решения

[Dolce_Vita]

Доброго времени суток, друзья! Была бы признательна, если бы проверили решение задачи, условие которой прикреплено ниже, на наличие каких-либо ошибок. Пожалуйста, если таковые есть (а они должны быть), объясните подробнейшим образом, почему определённая часть решения является ошибочной. Это крайне важно для меня. Вот общее условие:
Две гладкие частицы сферической формы с массами $m_1$ и $m_2$, движущиеся со скоростями $v_{10}$ и $v_{20}$, сталкиваются под углом $\beta$. Расстояние до места встречи и скорости частиц соответствуют условиям соударения (отсутствию промаха)
Все значения физических величин зависят от определённого варианта. В моём варианте угол $\beta$ отсутствует, а удар является абсолютно упругим. Необходимо определить кинетические энергии $E_1$ и $E_2$ обеих частиц после удара и $\theta$ - угол отклонения частицы после удара, т.е. угол, образованный векторами $v_{10}$ и $v_1$.

Прилагаю схематический рисунок (и его векторную форму), где в "Дано" имеются численные значения согласно варианту:

А вот и виновник торжества - моё решение:
$\frac{m_1v_{10}^2}2 = \frac{m_1v_1^2}2 + \frac{m_2v_2^2}2 $ - Закон сохранения энергии $(1.1)$
$m_1v_{10}^2 = m_1v_1^2 + m_2v_2^2$ $(1.2)$

Пусть $m_1 = m$, $m_2 = 0.5m$. Тогда $v_{10}^2 = v_1^2 + 0.5v_2^2$ $(1.3)$
Законы изменения импульса для 1-ой и 2-ой частиц:
$m_1v_1 - m_1v_{10} = F\triangle t$ $(1.4)$
$m_2v_2 = F^`\triangle t$ $(1.5)$

$F = -F^`, |F| = |F^`| = F$
Закон сохранения импульса:
$m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_{10}$ $(1.6)$
С учётом $m_1 = m, m_2 = 0.5m$:
$v_1 + 0.5v_2 = v_{10}$ $(1.7)$
Проецируем $(1.7)$ на ось x:
$v_{1x} + 0.5v_{2x} = v_{10x}$ $(1.8)$
Проецируем $(1.4)$ и $(1.5)$ на ось y:
$v_{1y} = v_{10y} v_{2y} = 0$ $(1.9)$
Тогда $v_1\sin\varepsilon = v_{10}\sin\varphi$ $(1.10)$

Преобразуем $(1.8)$:
$0.5v_{2x} = v_{10} - v_{1x}$ $(1.11)$
и возведём в квадрат:
$0.25v_{2x}^2 = v_{10x}^2 - 2v_{10x}v_{1x} + v_{1x}^2$ $(1.12)$

Запишем $(1.3)$ через проекции:
$v_{10x}^2 + v_{10y}^2 = v_{1x}^2 + v_{1y}^2 + 0.5(v_{2x}^2 + v_{2y}^2)$ $(1.13)$

Согласно $(1.9)$ имеем:
$v_{10x}^2 - v_{1x}^2 = 0.5v_{2x}^2$ $(1.14)$

Вычтем из $(1.12)$ $(1.14)$ и преобразуем:
$0.5v_{2x} \cdot 0.5v_{2x} = 2v_{1x}(v_{10x} - v_{1x})$ $(1.15)$
Так как по $(1.10)$: $0.5v_{2x} = v_{10x} - v_{1x}$, то $0.5v_{2x} = 2v_{1x}$ $(1.16)$
Подставим найденное значение в $(1.8)$:
$v_{1x} = \frac{v_{10x}}3$ $(1.17)$

И вместе с $(1.10)$ имеем:
$-v_1 \cos{\varepsilon} = \frac{10} 3$ $(1.18)$
$v_1 \sin{\varepsilon} = 10\sqrt3$ $(1.19)$

Разделим $(1.19)$ на $(1.18)$:
$\frac{\sin{\varepsilon}} {\cos{\varepsilon}} = -3\sqrt3$
$\arctg{-3\sqrt3} = \varepsilon \implies |\varepsilon| = 72^{\circ}$

Тогда $\varphi = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 72^{\circ} = 48^{\circ}$
$v_2 = \frac43 v_{10}\cos{\varphi} = \frac{40}3 \approx 13.33 $
$v_1 = \frac{v_{10}\sin{\varphi}}{\sin{{\varepsilon}}} \approx 18.23 $
$E_1 = \frac{m_1v_1^2}2 \approx 0.17$
$E_2 = \frac{m_2v_2^2}2 \approx 0.03$

У меня вызывает подозрения вычисленный угол $\varepsilon$
Буду благодарна за оказанную помощь!

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- не набран текст и формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[sergey zhukov]

Dolce_Vita

Можно решить так.
Сначала рассмотрим задачу попроще-лобовое столкновение двух этих шаров (вверху слева):



Скорость центра тяжести системы $V_C=\frac{1}{M_1+M_2}(V_{01}M_1+V_{02}M_2)$. В нашем случае $V_{02}=0$, поэтому $V_C=V_{01}\frac{M_1}{M_1+M_2}$

Если энергия в системе сохраняется, то скорости тел относительно центра тяжести до удара будут такими же (но с минусом), как и после удара.

Тело $M_1$ до удара имело относительно центра масс скорость $V_{01C}=V_{01}-V_C=V_{01}-V_{01}\frac{M_1}{M_1+M_2}=V_{01}\frac{M_2}{M_1+M2}$, значит, после удара $M_1$ будет иметь относительно центра масс скорость $-V_{11C}=-V_{01}\frac{M_2}{M_1+M_2}$.

Скорость самого центра масс после удара не изменится, значит тело $M_1$ (в системе, где $M_2$ изначально покоился) после удара будет иметь скорость $V_{11}=V_C+V_{1C}=V_{01}\frac{M_1}{M_1+M_2}-V_{01}\frac{M_2}{M_1+M_2}=V_{01}(\frac{M_1-M_2}{M_2+M_1})$


Теперь вернемся к исходной задаче:

Видно, что:
$V_{11}^y=V_{01}^y=V_{01}\sin(\varphi)$
$V_{11}^x=V_{01}\cos(\varphi)\frac{M_1-M_2}{M_1+M_2}$ (это связь из предыдущей задачи)

Тогда $\varphi+\theta=\arctg(\tg(\varphi)\frac{M_2+M_1}{M_1-M_2})=79^\circ$, $\theta=19^\circ$ и $\varepsilon=101^\circ$ (у вас в ответе $\varphi$ на $\theta$ нужно поправить, по моему).

Где-то у вас ошибка, я пока не искал.

[Dolce_Vita]

Спасибо огромное, Вы действительно мне помогли! А ошибку я нашла, и теперь ответ сходится.