Потенциал двух концентрических проводящих сфер с проводником

[Aron]

Здравствуйте!
Задача:
Есть две концентрические проводящие заряженные сферы с радиусами $r$ и $2r$, зарядами $q$ и $4q$ соответственно. Их соединили проводником, необходимо найти перетекший заряд.
Мои рассуждения:
Потенциал меньшей сферы $\frac{k(q - \Delta q)}{r} + \frac{k(4q + \Delta q)}{2r}$. На внутренней поверхности внешней сферы индуцируется заряд $ \Delta q - q$. А на внешней поверхности $5q$. Тогда внешне это выглядит как сфера с потенциалом $\frac{k5q}{2r}$. Дальше приравниваю:
$1.$ $\frac{k(q - \Delta q)}{r} + \frac{k(4q + \Delta q)}{2r} = \frac{k5q}{2r}$.
Видел решение где пишут, что
$2.$ $\frac{k(q - \Delta q)}{r} + \frac{k(4q + \Delta q)}{2r} = \frac{k(q - \Delta q)}{2r} + \frac{k(4q + \Delta q)}{2r}$.
Уравнение $1.$ и $2.$ фактически совпадают, но я не могу понять, почему можно писать второе уравнения, как бы забывая про индуцированный заряд.

[sergey zhukov]

Aron
Проще рассуждать так: если сферы соединены проводом, у нас тут фактически две проводящие полости (внутри малой сферы и между малой и большой сферами). Где в такой системе может находиться сумарный заряд системы $5q$? В полостях поля нет, значит весь заряд - на внешней поверхности большой сферы. Перетекший заряд равен всему первоначальному заряду внутренней сферы, т.е. $q$.

[rascas]

Aron в сообщении #1550786 писал(а):

На внутренней поверхности внешней сферы индуцируется заряд $ \Delta q - q$. А на внешней поверхности $5q$

Aron в сообщении #1550786 писал(а):

Видел решение где пишут, что
$2.$ $\frac{k(q - \Delta q)}{r} + \frac{k(4q + \Delta q)}{2r} = \frac{k(q - \Delta q)}{2r} + \frac{k(4q + \Delta q)}{2r}$.
Уравнение $1.$ и $2.$ фактически совпадают, но я не могу понять, почему можно писать второе уравнения, как бы забывая про индуцированный заряд.

Aron, справа от знака равенства - потенциал внешней сферы (потенциал на радиусе $2r$ от зарядов расположенных на внешней поверхности внешней сферы).
Вы спрашиваете почему не учтён потенциал от индуцированных зарядов на внутренней поверхности внешней сферы.
А почему Вы не спрашиваете, что не учтён потенциал на радиусе $2r$ от зарядов, расположенных на внутренней сфере?
Ведь для вычисления потенциала в любой точке необходимо суммировать потенциалы, созданные всеми зарядами в этой точке (принцип суперпозиции потенциала).

[EUgeneUS]

ИМХО. это даже не задача, а тестовый вопрос "на понимание". Ответ должен быть дан устно и (почти) сразу.

Нужно просто рассмотреть энергию электрического поля.
Наводящие вопросы.
1. Будет ли меняться от распределения зарядов между сферами энергия электрического поля в следующих областях:
а) внутри внутренней сферы.
б) между сферами.
в) во внешней области.
2. Если будет, то как?

[Aron]

Спасибо, понял.

[EUgeneUS]

Aron
Ещё пара-тройка ремарок.

1.

Aron в сообщении #1550786 писал(а):

На внутренней поверхности внешней сферы индуцируется заряд $ \Delta q - q$. А на внешней поверхности $5q$.

В этой задаче и соседней Вы всё норовите рассмотреть тонкие проводники, как толстые, и провести поверхность в "их нутре"

(Оффтоп)

а в нутре у неё неонка

В некоторых случаях это имеет смысл. Но в данных задачах это всё усложняет, ибо приходится думать не о зарядях на одной поверхности (нулевой толщины), а о зарядах на двух поверхностях.
Иногда, конечно, имеет смысл решить задачу специально усложненным способом, для понимания. Но не каждый же раз.

2. Пусть есть сферически симметричное распределение зарядов:
$\rho = \rho(r)$, то есть плотность заряда зависит только от расстояния от центра системы координат.
причем, с некоторого расcтояния от центра координат зарядов нет:
$\rho(r) = 0$, при $r>r_0$
Тогда имеется тривиальный, но удивительный факт:
в области пространства $r>r_0$ поле (и потенциал) неотличимы от поля (и потенциала) точечного заряда (суммарной величины).
Вы этот факт или знали, или интуитивно понимали. Поэтому записали равенство (1) (нумерация по стартовому посту).
Те, кто писал равенство (2), этот факт не знали и-или игнорировали, и поэтому записали потенциал без учета этого факта, но исходя из принципа суперпозиции.

3. Зная факт 2 (выше), Вы могли бы решить задачу устно. Вообще не записывая никаких формул. Но почему-то задумались об индуцированных зарядах...