В не-приватном режиме у человека есть куча гугловских cookie с разных сайтов, по которым гугл понимает, что это не робот (и даже понимает что это конкретно за человек). А вот в инкогнито режется очень много информации, и отличить человека от робота становится сложнее, поэтому гугл и показывает капчу.
Ну вообще, это разумно, конечно. Но не объясняет, почему у других людей или в другое время капча на запрашивается.
Потом, из стартового поста и других сообщений ТС никак не следует, что в не-приватном режиме у него проблема ни разу не возникала. Отсутствие упоминаний может свидетельствовать о том, что тот режим просто не использовался. А для чистоты эксперимента нужно все-таки смотреть и там, и там.
Я бы для начала сменила пароль на роутере, если есть. Или точку доступа, если нет. Второе - чтобы посмотреть, что будет под другим провайдером.
Правда, ТС свое решение уже принял, так что это все пустое.