Самое прозрачное решение уравнения Ферма

[AndreyIos]

Это не доказательство ВТФ, а решение уравнения.
К доказательству теоремы предъявляются очень строгие требования к форме доказательства. Здесь необходимо доказывать истинность утверждений.
В общем случае необходимо от аксиом дойти до утверждения теоремы.
К решению уравнения предъявляются менее строгие требования к форме решения.
Здесь необходимо доказывать правильность решения конкретными числовыми примерами, но и опровергать правильность решения можно только конкретными числовыми примерами.
Если правильное решение уравнения не соответствуют каким-либо теоретическим научным положениям, то исправлять надо это теоретическое положение, а не решение.
Желающие могут использовать представленное решение уравнения Ферма для доказательства ВТФ.
Рассмотрим уравнение Ферма: $X^n + Y^n = Z^n$
Будем искать решение в натуральных числах: $X, Y, Z, n = 1, 2, 3,\dots$
Отметим очевидные свойства чисел $X, Y, Z$. Все три числа различны по величине и попарно взаимно просты. Если два числа равны, то третье число должно делиться на любое из равных чисел, то есть нарушается попарная взаимная простота.
Число $Z$ – наибольшее из них, так как его степень равна сумме степеней двух других чисел. Примем для определенности, что число $X$ – наименьшее из тройки чисел. Таким образом, выполняется строгое неравенство $X < Y < Z$.
Поскольку мы ищем решение среди чисел натурального ряда и поскольку все три числа различны по величине, то существует единственное наименьшее решение для каждого показателя степени $n$. Это утверждение является следствием наличия в натуральном ряду наименьшего числа 1.
Наименьшее решение выражается формулой:

$$(2\cdot n - 1)^n + (2\cdot n)^n = (2\cdot n + 1)^n$$

Это и есть удивительное решение, которое наверняка знал Пьер Ферма. Предлагаем решение назвать решением Ферма, а формулу наименьших решений назвать формулой Ферма. Это будет исторически справедливо.
$n = 1$
$(2\cdot1 - 1)^1 + (2\cdot1)^1 = (2\cdot1 + 1)^1$
$1 + 2 = 3$
Поскольку наименьшее решение уравнения Ферма для показателя степени 1 существует, то решение уравнения для степени 1 существует и равно $(1,2,3)$.
$n = 2$
$(2\cdot2 - 1)^2 + (2\cdot2)^2 = (2\cdot2 + 1)^2$
$3^2 + 4^2 = 5^2$
$9 + 16 = 25$
Поскольку наименьшее решение уравнения Ферма для показателя степени 2 существует, то решение уравнения для степени 2 существует и равно $(3,4,5)$.
$n = 3$
$(2\cdot3 - 1)^3 + (2\cdot3)^3 = (2\cdot3 + 1)^3$
$5^3 + 6^3 = 7^3$
$125 + 216 = 341 < 7^3 = 343$
Поскольку наименьшее решение уравнения Ферма для показателя степени 3 не существует, то решение уравнения для степени 3 не существует.
Как видите, решение уравнения Ферма совершенно не зависят от величины натуральных чисел $X, Y, Z$ и свойств делимости этих чисел. Решение зависит исключительно от величины показателя степени $n$.
При показателе степени $n > 2$ сумма степеней двух последовательных чисел меньше степени третьего последовательного числа, что обусловлено появлением возрастающего ускорения изменений степенной функции при $n > 2$.
Аналогично доказывается отсутствие решений уравнения Ферма для показателей степени $n = 4, 5,\dots$
Более того, очень просто доказывается отсутствие решений уравнения Ферма для всех нечетных показателей степени $n = 3, 5, 7,\dots$
Для доказательства следует раскрыть скобки наименьшего решения уравнения Ферма для нечетных показателей, привести подобные члены. Свободный член уравнения равен 2. Это число делится только на 1 и 2. Поэтому других решений в натуральных числах не существует.
Для показателя степени 4 доказательство представлено ниже:
$n = 4$
$(2\cdot4 - 1)^4 + (2\cdot )^4 = (2\cdot4 + 1)^4$
$7^4 + 8^4 = 9^4$
$2401 + 4096 = 6497 < 9^4 = 6561$
Поскольку наименьшее решение уравнения Ферма для показателя степени 4 не существует, то решение уравнения для степени 4 не существует.
Как видите, при увеличении показателя степени разрыв между суммой степеней двух последовательных чисел и степенью третьего последовательного числа только возрастает.
Вывод формулы наименьшего решения уравнения Ферма.
Рассмотрим уравнение: $X^n = Z^n - Y^n$
Поскольку $X$– наименьшее из тройки чисел, то разность $Z^n - Y^n$ должна быть наименьшим числом. А это возможно только в том случае, если $Y^n$ принимает наибольшее значение. Поскольку $Z > Y$, то наибольшее значение числа $Y = Z - 1$. Это равенство действительно только для натуральных чисел, среди которых мы и ищем решение уравнение Ферма. Таким образом, используя условие натуральности области решения, нам удалось уменьшить количество неизвестных в уравнении с 3 до 2.
Рассмотрим уравнение: $Y^n = Z^n - X^n$
Поскольку $Y$ – входит в тройку чисел наименьшего решения, то разность $Z^n - X^n$ должна быть наименьшим числом. А это возможно только в том случае, если $X^n$ принимает наибольшее значение. Поскольку $Z > X$, то наибольшее значение числа $X = Z - 1$.
Но ранее это значение присвоено $Y$. Поэтому числу $X$ необходимо присвоить следующее меньшее значение $X = Z - 2$. Это равенство действительно только для натуральных чисел, среди которых мы и ищем решение уравнение Ферма. Таким образом, используя условие натуральности области решения, нам удалось уменьшить количество неизвестных в уравнении с 3 до 1.
Возможность уменьшения количества неизвестных до одного является дополнительным свидетельством единственности наименьшего решения.
Наименьшее решение уравнение Ферма равно одной из следующих троек чисел:

$$(Z - 2, Z - 1, Z), (Y - 1, Y, Y + 1), (X, X + 1, X + 2)$$

Переход от одной тройки чисел к другой тройки чисел осуществляется путем линейной подстановки. Нам нравится средняя тройка чисел. Введем замену переменных $Y = 2\cdot n$. Получим окончательную формулу наименьших решений уравнения Ферма:

$$(2\cdot n - 1)^n + (2\cdot n)^n = (2\cdot n + 1)^n$$

Формула наименьших решений уравнения Ферма позволяет найти хотя бы одно решение, но не позволяет найти все решения, даже если они существуют.

[zykov]

AndreyIos в сообщении #1550753 писал(а):

Наименьшее решение выражается формулой:

$$(2\cdot n - 1)^n + (2\cdot n)^n = (2\cdot n + 1)^n$$

С чего вдруг?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Великая теорема Ферма» в форум «Пургаторий (М)»
Причина переноса: в профильный раздел.