Оценка квадрата функции через интегралы

[alex18]

Помогите, пожалуйста, доказать следующее неравенство.
Для функций $u \in C^1[a,b], \forall c \in [a,b], \forall \varepsilon>0\; \exists C_\varepsilon$ такая, что $u^2(c) \leqslant \varepsilon \int_a^b u'^2(x)\,dx + C_\varepsilon \int_a^b u^2(x)\,dx.$
Было указание сначала доказать для функций $\tilde u: \tilde u(a)=0$.
Для них мне удалось это сделать:

$$\int_a^c (\sqrt{\varepsilon}\tilde u'(x)-\sqrt{C_{\varepsion}}\tilde u(x))^2\,dx = \varepsilon\int_a^c \tilde u'^2(x)\,dx-2\sqrt{\varepsilon C_\varepsilon}\int_a^c \tilde u(x)\tilde u'(x)\,dx + C_\varepsilon \int_a^c \tilde u^2(x)\,dx \geqslant 0,$$

где второе слагаемое получается равным $-\sqrt{\varepsilon C_\varepsilon} \tilde u^2(c)$. Наложим условие $C_\varepsilon \geqslant \varepsilon^{-1}$ и получим требуемое неравенство, только где верхние пределы интегралов равны $c$; ясно, что если заменим верхние пределы на $b$, то получим не меньшую величину, так как всё неотрицательно, таким образом, для зануляющихся на левом конце отрезка функций неравенство доказано.
Теперь рассмотрим произвольную функцию $u(x) = \tilde u(x) + u(a)$.
Получаем

$$u^2(c) = \tilde u^2(c) + 2\tilde u(c)u(a)+u^2(a) \leq \varepsilon \int_a^b u'^2(x)\,dx + C_\varepsilon\left(\int_a^b u^2(x)\,dx -\int_a^b 2u(x)u(a)\,dx+\int_a^b u^2(a)\,dx\right)+$$ $$+2u(c)u(a)-2u^2(a)+u^2(a).$$

Первые два слагаемых - то, что нужно; группу слагаемых с $u^2(a)$ можно сделать неотрицательной при $C_{\varepsilon} \geqslant \frac{1}{b-a}$, но тогда остаётся группа слагаемых $2u(a)(u(c)-C_\varepsilon\int_a^b u(x)\,dx)$, которая может принимать отрицательные значения вне зависимости от $C_\varepsilon$. Идеи, как доказать неотрицательность сразу всех "лишних" в получившейся формуле слагаемых, не приходит на ум. Подскажите, пожалуйста, как можно продвинуться в доказательстве этого неравенства?

[Red_Herring]

В последнем слагаемом во второй строке д.б. $u^2$ а не $u'^2$.

[alex18]

Red_Herring в сообщении #1550702 писал(а):

В последнем слагаемом во второй строке д.б. $u^2$ а не $u'^2$.

Спасибо, исправила.

[thething]

alex18
Тут можно без вспомогательного утверждения обойтись.

1. Запишите теорему о среднем для интеграла от $u^2(x)$,
2. Запишите $u^2(c)-u^2(\xi)$ по формуле Ньютона-Лейбница,
3. Выразите $u^2(c)$ и примените неравенство Коши-Буняковского,
4. Учтите, что $2ab\le\dfrac{a^2}{\varepsilon}+\varepsilon b^2$.

В итоге должно получиться, что $C_\varepsilon=\dfrac{1}{\varepsilon}+\dfrac{1}{b-a}$.

[alex18]

thething в сообщении #1550709 писал(а):

alex18
Тут можно без вспомогательного утверждения обойтись.

1. Запишите теорему о среднем для интеграла от $u^2(x)$,
2. Запишите $u^2(c)-u^2(\xi)$ по формуле Ньютона-Лейбница,
3. Выразите $u^2(c)$ и примените неравенство Коши-Буняковского,
4. Учтите, что $2ab\le\dfrac{a^2}{\varepsilon}+\varepsilon b^2$.

В итоге должно получиться, что $C_\varepsilon=\dfrac{1}{\varepsilon}+\dfrac{1}{b-a}$.

Всё получилось, спасибо Вам большое!

[novichok2018]

Вроде стандартное неравенство из учебников про теоремы вложения Соболева (вложение аш 1 в це).