Закон сохранения энергии

[Stensen]

Доброго времени суток. Помогите решить задачу.
Двойная система состоит из одинаковых звезд, идентичных Солнцу и обращающихся по круговым орбитам на расстоянии 1 а.е. друг от друга. В результате близкого пролета еще одной такой же звезды система распалась, все три звезды навсегда покинули окрестности друг друга. Определите минимальную скорость третьей звезды относительно центра двойной системы до сближения. Третья звезда не взаимодействовала с двумя другими до подлета.

Полагаю, нужно воспользоваться законом сохранения энергии.

Начальная энергия системы из 3-х звезд: $W_1=E_{p 12}+E_{k 1} +E_{k 2}+E_{k 3}$ , где: $E_{p 12}$ - потенциальная энергия двух одинаковых звезд, $E_{k 1},\, E_{k 2},\, E_{k 3}$ - кинетические энергии 3-х звезд, $E_{k 1} =E_{k 2}$, две одинаковые звезды, третья $E_{k 3}$ - летящая.

Конечная энергия системы $W_2=0$. Считаем, что энергии 3-ей звезды хватило на то, чтобы разогнать звезды и на бесконечности они все остановились.
Тогда: $E_{p 12} = G \frac{M^2}{R}$, где: $M,R$ - масса Солнца и расстояние между вращающимися звездами, соответственно.

$E_{k 1} =E_{k 2} = \frac{M v^2}{2}$ , где: $v$ - линейная скорость вращающихся звезд, $v=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$

$E_{k 3} = \frac{M u^2}{2}$ , где: искомая $u$ - скорость пролетающей звезды.

Полагаю, $E_{p 12} $ нужно брать отрицательную, т.к. на бесконечности $E_{p} =0$. Тогда $E_{k 3}=-E_{p 12}-E_{k 1} -E_{k 2}$ где: $E_{p 12}<0$.

Все ли верно?

[sergey zhukov]

[Stensen
Идея в общем верная. Двойная система имеет отрицательную полную энергию (отрицательная полная энергия - это и значит "система гравитационно связана"). Третья звезда должна дополнить ее до нуля, т.е. ее кинетическая энергия должна быть равна полной энергии двойной системы со знаком $+$.

Кинетическую энергию каждой звезды в паре только нужно вычислить внимательнее, по моему.

[Stensen]

sergey zhukov в сообщении #1550426 писал(а):

[Stensen
Кинетическую энергию каждой звезды в паре только нужно вычислить внимательнее, по моему.

Намекните, куда смотреть. Думаю, нужно рассмотреть вращение системы и момент инерции?

[sergey zhukov]

Stensen
Нет, нужно учесть, что звезды вращаются вокруг общего центра тяжести, а не одна вокруг неподвижной другой. По моему, линейная скорость каждой звезды составит $u=\sqrt{\frac{GM}{2R}}$

[Pphantom]

Stensen в сообщении #1550425 писал(а):

Полагаю, нужно воспользоваться законом сохранения энергии.

Да, это правильно, но в деталях есть проблемы.

Stensen в сообщении #1550425 писал(а):

Конечная энергия системы $W_2=0$.

Это неверно (и это главные грабли, на которые можно наступить в этой задаче).

Stensen в сообщении #1550425 писал(а):

и на бесконечности они все остановились.

А почему, собственно? Закон сохранения импульса кто-то отменил?

Stensen в сообщении #1550425 писал(а):

где: $v$ - линейная скорость вращающихся звезд, $v=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$

Это тоже неверно (выше sergey zhukov уже написал правильное выражение).

[sergey zhukov]

Pphantom
Да, действительно. Если изначально центр масс двойной покоился, то центр масс трех тел уже не будет в покое. Это относительные скорости всех трех тел после распада системы стремятся к нулю. Я об этом не подумал. Минимальная необходимая скорость третьей звезды будет выше.

[iifat]

А почему, если не секрет, потенциальная энергия третьего тела никак не фигурирует в рассуждениях?

[DimaM]

iifat в сообщении #1550486 писал(а):

А почему, если не секрет, потенциальная энергия третьего тела никак не фигурирует в рассуждениях?

Рассуждения, вроде, о прилете с бесконечности. А там потенциальная энергия нулевая.

[sergey zhukov]

iifat
Потому, что оно изначально было далеко (по условию "третья звезда не взаимодействовала с двумя другими до подлета"). Потенциальная энергия - энергия взаимодействия.

[Stensen]

sergey zhukov в сообщении #1550437 писал(а):

Stensen
Нужно учесть, что звезды вращаются вокруг общего центра тяжести, а не одна вокруг неподвижной другой. Линейная скорость каждой звезды составит $v=\sqrt{\frac{GM}{2R}}$

Согласен, был не прав.

sergey zhukov в сообщении #1550465 писал(а):

Pphantom
Если изначально центр масс двойной покоился, то центр масс трех тел уже не будет в покое. Это относительные скорости всех трех тел после распада системы стремятся к нулю.

Начальный суммарный импульс трех звезд в системе центра масс вращающихся звезд: $\vec{p_1}=M\vec{v_1} + M\vec{v_2} + M\vec{v_3} = M\vec{v_3}$, т.к. $M\vec{v_1} = - M\vec{v_2}$. Не знаю, как написать конечный импульс? Я полагал, что разлетающиеся звезды, продолжая притягиваться, остановятся на бесконечности, относительно начального центра масс, но понял, что нарушается сохранение импульса. Поясните пожалуйста, почему относительные скорости всех трех тел после распада системы стремятся к нулю? Скорости тел относительно ЧЕГО? И как это использовать для решения этой задачи?

[DimaM]

Stensen в сообщении #1550490 писал(а):

Поясните пожалуйста, почему относительные скорости всех трех тел после распада системы стремятся к нулю? Скорости тел относительно ЧЕГО?

Относительные скорости - относительно друг друга ;).
А вообще - в системе центра масс.

Stensen в сообщении #1550490 писал(а):

Согласен, был не прав.

Для круговых орбит есть удобное соотношение: полная энергия равна половине потенциальной. Можно получить прямым вычислением или из теоремы о вириале.

[sergey zhukov]

Stensen
Задача почти не усложняется при учете сохранения импульса. Скорости всех трех тел друг относительно друга стремятся к нулю, но центр масс системы трех тел будет продолжать движение так же, как он это делал до столкновения третьей звезды с двумя другими. Стало быть, все три тела в конце концов будут иметь одинаковую скорость, направленную в одну сторону. Найдите эту скорость и соответствующую кинетическую энергию всей системы. Это и есть добавка к энергии третьей звезды.

Можете и по другому сделать. Просто считайте, что исходная двойная система и третья звезда движутся навстречу друг-другу так, что центр тяжести всей системы неподвижен. Тогда действительно, после распада системы все три тела остановятся на бесконечности. Но для этого скорость третьей звезды относительно центра тяжести двойной системы, как видно, должна быть немного больше, чем если бы двойная система была неподвижна.

[DimaM]

Stensen в сообщении #1550490 писал(а):

Поясните пожалуйста, почему относительные скорости всех трех тел после распада системы стремятся к нулю?

Суммарную кинетическую энергию системы материальных точек можно записать в виде

$$K=\frac{P^2}{M}+\sum_i\frac{m_iu_i^2}{2},$$

где $P$ - полный импульс системы, $M=\sum_i m_i$ - полная масса, а ${\bf u}_i$ - скорости в системе центра масс, причем $\sum_i m_i{\bf u}_i=0$. Очевидно, что суммарная кинетическая энергия минимальна, когда все ${\bf u}_i=0$.

[EUgeneUS]

DimaM в сообщении #1550494 писал(а):

Очевидно, что суммарная кинетическая энергия минимальна, когда все ${\bf u}_i=0$.

Раз уж это прозвучало.
То есть в финале, три звезды улетают в далекие дали с (почти) одинаковой скоростью. А это вообще возможно?

Перейдем в ИСО ц.м. всех трех звезд. После столкновения они
а) или покоятся в области сравнимой с размером двойной системы.
б) или разлетаются медленно из области, сравнимой с размером двойной системы.
В обоих случаях система не распадается.

[Pphantom]

EUgeneUS в сообщении #1550506 писал(а):

А это вообще возможно?

Маловероятно, но возможно.