Движение в магнитном поле (Савченко 10.2.2)

[intex2dx]

Оцените скорость дрейфа электрона поперек неоднородного магнитного поля, компоненты индукции которого $B_x = 0, B_y = 0, B_z = B_0 (1+\alpha x).$ Скорость электрона $\upsilon, \upsilon << q B_0/(\alpha m).$
https://imgur.com/Q4Xl4KF
Как тут можно решать: при решении предыдущей задачи (10.2.1) (https://imgur.com/e9WNgZO) была получена формула для скорости дрейфа вдоль границы раздела двух магнитных полей:

$$u = \frac{2\upsilon}{\pi} \frac{B_2-B_1}{B_2+B_1}$$

.
Если использовать данное в условии ограничение на $\upsilon$, то очевидно, что в нижней точке траектории частицы поле не сильно отличается от $B_0$. Тогда формально можно представить движение частицы как дрейф вдоль границы раздела полей $B_0$ и $B_0+dB$. Тогда искомая скорость дрейфа будет равна:

$$u \approx \frac{2\upsilon}{\pi} \frac{dB}{2B_0} = \frac{\upsilon dB}{\pi B_0} $$

$dB$ можно найти как изменение поля при смещении на сумму радиусов окружностей, по которым движется электрон в каждом из полей, то есть на удвоенный радиус окружности поля $B_0$ :

$$dB = \alpha B_0 dx = 2 \alpha B_0 \frac{m \upsilon}{q B_0} = \frac{2 m \upsilon \alpha}{q}$$

Тогда:

$$u = \frac{2 m \upsilon^2 \alpha}{\pi q B_0}$$

Авторский ответ:

$$u = \frac{ m \upsilon^2 \alpha}{q B_0}$$

То есть отличается на $2/\pi$ . В чём здесь ошибка?

[DimaM]

intex2dx в сообщении #1550454 писал(а):

То есть отличается на $2/\pi$ . В чём здесь ошибка?

Для оценки это одно и то же.

[intex2dx]

DimaM в сообщении #1550468 писал(а):

intex2dx в сообщении #1550454 писал(а):

То есть отличается на $2/\pi$ . В чём здесь ошибка?

Для оценки это одно и то же.

То есть рассуждения верны? Вообще, по идее даже при оценке такие множители (а это где-то $0.6$) стоило бы оставлять, мы ведь не порядок оцениваем.

[DimaM]

intex2dx в сообщении #1550517 писал(а):

Вообще, по идее даже при оценке такие множители (а это где-то $0.6$) стоило бы оставлять, мы ведь не порядок оцениваем.

Нет, тут оцениваем как раз порядок.
Тут, в принципе, можно почти точно написать дифур для скорости дрейфа $v_y$:

$$\frac{d^2v_y}{dt^2}+\frac{m\alpha}{qB_0}\left(\frac{dv_y}{dt}\right)^2+\left(\frac{qB_0}{m}\right)^2v_y=0$$

и попробовать его решить. Выйдет некоторая периодическая функция, и нужно будет усреднить за период.