Потенциал в центре сферы

[Aron]

Здравствуйте!
Задача:
Точечный заряд $q$ расположен на расстоянии $r$ от центра проводящей сферы радиусом $R$. Заряд сферы равен $Q$. Найдите потенциал сферы. $r < R$.
Собственно говоря, так как $r < R$ на внутренней поверхности сферы индуцируется заряд $-q$, распределенный неравномерно, а на внешней поверхности равномерно распределяется заряд
$Q + q$. Т.к это равномерно заряженная сфера, то потенциал в центре должен быть $\frac{k(Q + q)}{R}$. Но с другой стороны ведь можно расчитать потенциал в центре сферы как $\frac{k(Q + q)}{R} + \frac{-kq}{R} + \frac{kq}{r} = \frac{kQ}{R} + \frac{kq}{r}$. Как я понимаю, второй способ расчета неверен, но у меня вопрос почему.

[sergey zhukov]

Aron
Чтобы вычислить потенциал в центре сферы с точечным зарядом внутри, нужно учесть все заряды, т.е. сложить потенциалы от заряда на внешней поверхности сферы, на внутренней поверхности сферы и точечного заряда. Так что второй вариант как раз правильный. Если учесть только потенциал от заряда на внешней поверхности сферы, то это будет потенциал для заряженной сферы без заряда внутри.

[DimaM]

sergey zhukov в сообщении #1550394 писал(а):

Так что второй вариант как раз правильный.

Нет, второй вариант неправильный. Особенно это очевидно при $r=0$.
Задание же "найти потенциал сферы", а не "найти потенциал в центре сферы".

[Aron]

DimaM
А почему будут отличаться потенциалы сферы и центра сферы, если она проводящая, а значит напряженность внутри нулевая.

[DimaM]

Aron в сообщении #1550404 писал(а):

А почему будут отличаться потенциалы сферы и центра сферы, если она проводящая, а значит напряженность внутри нулевая.

По условию внутри сферы точечный заряд. Так что напряженность внутри именно ненулевая.

[sergey zhukov]

DimaM
Это верно: в этой задаче потенциал в центре сферы не равен потенциалу самой сферы, конечно. В этом смысле задача не решена, хотя потенциал в центре найден правильно.

Aron
Потенциал всегда одинаковый в любой точке внутри пустой проводящей полости. Но у нас-то полость не пустая.

[DimaM]

sergey zhukov в сообщении #1550406 писал(а):

В этом смысле задача не решена, хотя потенциал в центре найден правильно.

Задачи найти потенциал в центре не было
Поставленная задача не решена без всяких оговорок.

[Aron]

sergey zhukov
А напряженность поля в полости проводника всегда будет нулевая, независимо от формы, если внутри нет зарядов? Или это только в силу симметрии сферы? А еще, когда мы ставим сферу с радиусом $r$ и заряд на расстоянии $l > r$, у нас на сфере ничего не индуцируется, так почему же внутри поля нет? И почему силовые линии заряда $q$ заканчиваются на сфере (как бы перпендикулярны ей), если сфера не имеет заряда, а все силовые линии должны заканчиваться на отрицательном заряде?

[amon]

Aron в сообщении #1550461 писал(а):

А напряженность поля в полости проводника всегда будет нулевая, независимо от формы, если внутри нет зарядов?

Да, нулевая. Пусть тело сплошное. Если внутри металла есть поле, то возникнет электрический ток. Значит заряды распределятся по поверхности тела так, что бы поля внутри тела не было, а напряженность поля от всех зарядов, включая те, что создали внешнее поле, была бы направлено перпендикулярно поверхности тела. Теперь мы можем убрать всю "внутренность" и оставить одну поверхность - внутренность не заряжена, и поле внутри как было нулем, так им и останется.

Aron в сообщении #1550461 писал(а):

А еще, когда мы ставим сферу с радиусом $r$ и заряд на расстоянии $l > r$, у нас на сфере ничего не индуцируется

Еще как индуцируется - см. рассуждение выше.

[sergey zhukov]

Aron
Ну вы же помните клетку Фарадея? Она не сферическая, но электрического поля внутри нее все равно нет. Как правильно сказал amon, объем проводника не играет никакой роли в электростатике. Имеет значениие только его поверхность. Любое проводящее тело можно заменить на фольгу, имитирующую поверхность этого тела. Внутри области, окруженной фольгой, поля нет. Так получается, что несферическая оболочка из фольги заряжается с разной плотностью заряда в разных местах именно так, чтобы полностью уничтожить поле внутри. Сфера - это просто частный случай.

Внешний заряд индуцирует разную плотность заряда на проводящей сфере в разных ее точках. Суммарный заряд сферы остается нулевым, но разные ее участки оказываются заряжены по разному (сфера не заряжается, а поляризуется). Эта поляризация и уничтожает поле внешнего заряда внутри сферы. Т.к. сфера в целом не заряжена, в ее поверхность входит столько же силовых линий (со стороны внешнего заряда), сколько и выходит из нее с противоположной стороны (уходит в бесконечность). По сути, силовые линии внешнего заряда просто "пронзают" сферу насквозь. Если окружить сферу мысленной поверхностью и подсчитать поток электрического поля через эту поверхность, то он будет равен нулю, т.е. суммарный заряд сферы нулевой.

[Aron]

Всем спасибо за помощь, помогли разобраться.