Нижняя грань значений функции

[nnosipov]

zykov в сообщении #1550224 писал(а):

А чисто алгебраически?

Есть такая книжечка: П. П. Коровкин. Неравенства (вып. 5 серии "Популярные лекции по математике"). Там на стр. 30 решается задача 5, в которой находится минимум функции $x^\alpha+ax$ при $x>0$ (здесь $\alpha<0$, $a>0$). При доказательстве используется неравенство Бернулли (оно раньше выводится, тоже без производных).

[waxtep]

nnosipov в сообщении #1550229 писал(а):

Там на стр. 30 решается задача 5, в которой находится минимум функции $x^\alpha+ax$ при $x>0$ (здесь $\alpha<0$, $a>0$).

Если считать это доступным, можно так схитрить: ищем максимальное $m$, при котором $1+v^3u+u^3\geqslant mvu^2$ для $u,v>0$. Введем $u^2=k^2v^3,t=\sqrt v$ и сведем к $k(k^2+1)t^9-mk^2t^8+1\geqslant0$. Минимум л.ч., как полинома по $t$, достигается при $t_0=\dfrac{8mk}{9(k^2+1)}$ и равен $1-\dfrac{mk^2t_0^8}9$, что дает $m^9\leqslant\dfrac{9^9}{8^8}\cdot\dfrac{(k^2+1)^8}{k^{10}}$, и теперь остается аналогично расправиться с полиномом $(x+1)^8-px^5$ для нахождения глобального минимума п.ч. в неравенстве для $m$.
(я, конечно, жульничал и брал производную в обоих случаях, но это же все таки простой случай полиномов от одной переменной и при том наличие локального минимума вполне очевидно)

[nnosipov]

waxtep в сообщении #1550235 писал(а):

$1+v^3u+u^3\geqslant mvu^2$

Здесь действительно все получается: надо сначала минимизировать по $v$, а затем то, что получилось, минимизировать по $u$. У Коровкина есть и такая задача: найти минимум функции $x^\alpha-ax$, где $\alpha>1$ и $a>0$. Этим результатом нужно воспользоваться дважды. Вот так можно обойтись совсем без производных.

P.S. В далеком детстве читал эту книжечку Коровкина, и вот как она неожиданно здесь пригодилась.

[Arks]

nnosipov в сообщении #1550201 писал(а):

Нет

Да, точно, забыл что самый первый член обнуляется, тогда $2$ выходит

[Rak so dna]

nnosipov в сообщении #1550206 писал(а):

Найдите минимум функции

$$f(u,v) =\frac{1 + v^3 u + u^3}{vu^2}$$

в области $u > 0$, $v > 0$.

Лично мне здесь было бы интересно найти решение, максимально близкое к школьной программе.

zykov в сообщении #1550224 писал(а):

Вот к примеру найдите минимум $\frac1x + x^2$. Аналитически элементарно. А чисто алгебраически?

Если каким-либо образом отгадать ответ, то легко построить чисто алгебраические решения:

$$\frac{1+xy^3+x^3}{x^2y}=\frac{(x-\sqrt[3]5)^2(x+2\sqrt[3]5)}{10x^2y}+\frac{(y\sqrt[9]5-\sqrt[3]3)^2(2y\sqrt[9]5+\sqrt[3]3)}{2xy\sqrt[3]5}+\frac{3\sqrt[3]3(y\sqrt[9]{5^4}-x\sqrt[3]3)^2}{10xy}+\left(\frac{\sqrt[3]3}{\sqrt[9]5}\right)^5$$

$$x^2+\frac{1}{x}=(x\sqrt[3]2-1)^2\left(\frac{1}{\sqrt[3]4}+\frac{1}{x}\right)+\sqrt[3]2+\frac{1}{\sqrt[3]4}$$

[nnosipov]

Rak so dna в сообщении #1550647 писал(а):

легко построить чисто алгебраические решения

Для второго понятно. А для первого --- предугадать форму и затем методом неопределенных коэффициентов?

[Rak so dna]

nnosipov
Зная, что минимум достигается при $x=\sqrt[3]5$ и $y=\frac{\sqrt[3]3}{\sqrt[9]5}$ использовать подстановки $u=\frac{x}{\sqrt[3]5}$ и $v=\frac{y\sqrt[9]5}{\sqrt[3]3}$, после чего выражение $\frac{1+xy^3+x^3}{x^2y}-\left(\frac{\sqrt[3]3}{\sqrt[9]5}\right)^5$ сведётся к виду $\left(\frac{\sqrt[3]3}{\sqrt[9]5}\right)^5\cdot G(u,v)$, где $G(u,v)$ рациональная функция с целыми коэффициентами и минимумом, равном нулю, в точке $(1,1)$. А уже $G(u,v)$ легко представить в виде $(u-1)^2A+(v-1)^2B+(u-v)^2C$

[nnosipov]

Rak so dna
Спасибо, понятно.