Нижняя грань значений функции

[nnosipov]

waxtep
Там же нужно найти минимум не двучлена, а трехчлена.

[waxtep]

nnosipov
Да, погорячился, я предположил что минимум $f(x,y)=g^2(x,y)+(y-kx)^2h(x,y)^2$ достигается при $y=kx$, а это ведь вовсе не факт: $g,h$ могут сказать свое веское слово. На самом деле для $4^\lambda$ все еще работает асимптотика, а для $5^\lambda$ уже нет; но вольфрам кстати справляется, даже находит точную форму координат минимума; видимо, значит, можно и человеку, только надо аккуратнее

[nnosipov]

waxtep в сообщении #1550027 писал(а):

можно и человеку

Можно, но нужно будет решать кубическое уравнение. Т.е. ответ будет достаточно громоздкий.

Upd. Хотя мы, похоже, о разных задачах говорим.

[Arks]

nnosipov в сообщении #1550001 писал(а):

В обоих случаях я бы предложил вычислить $\lim_{\lambda \to +\infty}\inf_{x \in \mathbb{R}}f_\lambda(x)$.

Ну тут все просто, для 1) будет $3$, а для 2) бесконечность.

nnosipov в сообщении #1550001 писал(а):

Кажется, для $\inf_{x \in \mathbb{R}}f_\lambda(x)$ простой формулы нет.

Для $4^\lambda$ там очевидно выходит тройка, как отметили выше. А вот для $5^\lambda$ надо подумать

[nnosipov]

Arks в сообщении #1550197 писал(а):

для 1) будет $3$

Нет

Arks в сообщении #1550197 писал(а):

для 2) бесконечность

Да.

Arks в сообщении #1550197 писал(а):

Для $4^\lambda$ там очевидно выходит тройка

Опять нет. Вы вчитайтесь в то, что предлагается найти: $\inf_{x \in \mathbb{R}}f_\lambda(x)$. Это будет некоторая функция от $\lambda$ и она отнюдь не константа.

[zykov]

nnosipov в сообщении #1550001 писал(а):

Arks в сообщении #1549862

писал(а):

Цитата:

Задачу можно модифицировать так
1) Найти минимальное значение выражения

$$f_\lambda(x)=\frac{1+4^\lambda e^x+e^{3x}}{2^\lambda e^{2x}}$$

при $\lambda>0$
2) Найти минимальное значение выражения

$$f_\lambda(x)=\frac{1+5^\lambda e^x+e^{3x}}{2^\lambda e^{2x}}$$

при $\lambda>0$

В обоих случаях я бы предложил вычислить $\lim_{\lambda \to +\infty}\inf_{x \in \mathbb{R}}f_\lambda(x)$. Кажется, для $\inf_{x \in \mathbb{R}}f_\lambda(x)$ простой формулы нет.

Для наглядности можно сделать замену $k=2^{\lambda}$ и $y=e^x$. Тогда будет

$$\frac{1+4^\lambda e^x+e^{3x}}{2^\lambda e^{2x}}=\frac{1+k^2 y+y^3}{k y^2}=\frac{1}{k y^2} + \left( \frac{k}{y}+\frac{y}{k} \right)$$

Очевидно, что выражение в скобках не менее 2 и принимает значение 2 при $k=y$. А первое слагаемое можно сделать сколь угодно малым увеличивая и $k$, и $y$.

Для случая $3^\lambda$ предел будет нулевой. Следует из предыдущего результата, если сделать замену $3^{\lambda}=4^{\lambda_1}$.
Аналогичной заменой для $5^\lambda$ можно показать что $\inf_{x \in \mathbb{R}}f_\lambda(x)$ будет неограниченно расти. Т.е. тут надо искать нижнюю границу не на бесконечности, а как минимум при конечных значения $x$ и $\lambda$.

[nnosipov]

zykov в сообщении #1550205 писал(а):

Очевидно, что выражение в скобках не менее 2 и принимает значение 2 при $k=y$. А первое слагаемое можно сделать сколь угодно малым увеличивая и $k$, и $y$.

Именно.

zykov в сообщении #1550205 писал(а):

Т.е. тут надо искать нижнюю границу не на бесконечности, а как минимум при конечных значения $x$ и $\lambda$.

Вот такая задача предлагается:

Найдите минимум функции

$$f(u,v) =\frac{1 + v^3 u + u^3}{vu^2}$$

в области $u > 0$, $v > 0$.

Лично мне здесь было бы интересно найти решение, максимально близкое к школьной программе.

[zykov]

Через производные легко получается экстремум при $u=\sqrt[3] 5$ и $v=\sqrt[3] 3 / \sqrt[9] 5$.
Минимум равен $(\sqrt[3] 3 / \sqrt[9] 5)^5$.

[nnosipov]

zykov в сообщении #1550209 писал(а):

Через производные легко получается

Нахождение стационарной точки --- это самая простая (техническая) часть решения задачи. И это, конечно, не школьный способ.

[zykov]

nnosipov в сообщении #1550210 писал(а):

не школьный способ

Школьникам рассказывают, что такое производная и как она связана с точками экстремума.
В данном случае, если точка является экстремумом функции двух переменных, то для школьнка ясно, что обе производные обязаны равняться нулю.

Получается, что есть только одна точка кандидат в экстремумы.
Да, далее надо доказать, что в других точках значение больше.

[nnosipov]

zykov в сообщении #1550212 писал(а):

В данном случае, если точка является экстремумом функции двух переменных, то для школьнка ясно, что обе производные обязаны равняться нулю.

Это известная идея малого шевеления. Проблема, однако, в том, что нужно еще доказать существование точки экстремума. А это уже не школьный материал.

[worm2]

zykov
Хотел было вам возразить, но тут меня осенило. Сейчас действительно во ФГОСе, в рабочих программах по математике за 11 класс есть производные, и даже вторые производные. Собственно, и сам предмет называется "Алгебра и начала матанализа", что как бы намекает. Во многих учебниках и про первообразную есть главы. Моё представление, что в школе этого нет, давно устарело (я учился ещё по 10-летней программе).

Тем не менее, функций от двух переменных, и частных производных, во ФГОСе всё-таки нет. И, кажется, даже в учебниках для углублённого изучения нет.

[zykov]

worm2
Так какая разница? Примите одну переменную, как параметр, и рассматривайте функцию только от второй переменной. Если это экстремум, то произодная функции этой одной переменной равна нулю. Так же и для другой переменной. Будет система из двух уравнений.

[nnosipov]

worm2 в сообщении #1550220 писал(а):

И, кажется, даже в учебниках для углублённого изучения нет.

Между тем, на олимпиадах полно задач на доказательство неравенств с несколькими переменными. Решение таких задач ни к каким производным обычно не апеллирует. Вот и в рассматриваемой задаче хочется чего-то подобного.

[zykov]

nnosipov в сообщении #1550222 писал(а):

Вот и в рассматриваемой задаче хочется чего-то подобного.

Если и получится, то очень громоздко будет.
Вот к примеру найдите минимум $\frac1x + x^2$. Аналитически элементарно. А чисто алгебраически?