Коника определяется пятью точками или пятью касательными.

[hassword]

Коника определяется пятью точками или пятью касательными. Как известно существует представление через пять точек.
https://en.wikipedia.org/wiki/Five_points_determine_a_conic. Значит должна существовать аналогичное представление через пять касательных.
Но в интернете я не нашел информацию на эту тему. Может кто сталкивался с этим вопросом.

[пианист]

Про вывод через 5 точек ничего добавить не могу, но: понеже формула имеется, что мешает применить к ней проективную двойственность?

[hassword]

пианист в сообщении #1549597 писал(а):

что мешает применить к ней проективную двойственность?

То есть самому вывести формулу используя проективную двойственность. Ну давайте попробую. Как сделаю отпишусь.

[novichok2018]

Мне давно хочется доказать, что определитель матрицы 6х6 по ссылке можно разложить на множители, и так доказать теорему о пяти точках, что кроме вырожденных случаев он не ноль. Не получается. Может быть, кто-то сможет? То есть полностью построить по аналогии доказательство как для параболы через определитель.

[EXE]

hassword в сообщении #1549584 писал(а):

Значит должна существовать аналогичное представление через пять касательных.

Систему, например, можно решить. Из неё пять точек будут найдены и коэффициенты кривой. Система 15X15: десять координат (5 точек)+ 5 коэффициентов (свободный член 1, если кривая невырожденная).
5 уравнений - принадлежность точек кривой,
5 уравнений - принадлежность точек касательным,
5 уравнений -условие перпендикулярности в этих точках касательных и нормалей.

[hassword]

EXE
Да я вот тоже пытаюсь решить таким способом. Хотя есть и второй способ через проективную двойственность.

Некоторые продвижения есть. Отпишусь как найду.

[hassword]

Пусть касательная задается уравнением: $n_{1x} x+n_{1y} y=d_1$

Решаем систему:
$\begin{pmatrix} n_{1x}^2&n_{1y}^2 & 2n_{1x}n_{1y}& d_{1}n_{1x}& d_{1}n_{1y} &| d_{1}^2\\ n_{2x}^2&n_{2y}^2 & 2n_{2x}n_{2y}& d_{2}n_{2x}& d_{2}n_{2y} &| d_{2}^2\\ n_{3x}^2&n_{3y}^2 & 2n_{3x}n_{3y}& d_{3}n_{3x}& d_{3}n_{3y} &| d_{3}^2\\ n_{4x}^2&n_{4y}^2 & 2n_{4x}n_{4y}& d_{4}n_{4x}& d_{4}n_{4y} &| d_{4}^2\\ n_{5x}^2&n_{5y}^2 & 2n_{5x}n_{5y}& d_{5}n_{5x}& d_{5}n_{5y} &| d_{5}^2\\ \end{pmatrix}$

Находим центр коники: $O=\frac{1}{2} (w_4,w_5)$

Находим уравнение:

$L=(\begin{pmatrix} w_1& w_3 \\ w_3& w_2 \end{pmatrix}+OO^T)^{-1}$

$L_{11} x^2+L_{22} y^2+2L_{12} xy+L O(O-2(x,y))=1$

[hassword]

Только вот формула не совсем корректно работает.

я забыл что у параболы нет центра.

так что вопрос остается открытым.