Действительные корни системы

[Brukvalub]

Тут один участник уже пытался недавно"ловить" с помощью метода Сильвестра, описанного в Прасолове (см. http://dxdy.ru/topic16827.html ). Выяснилось, что в общем виде ничего "не ловится".
Кстати, вы с ним не из одного "гнезда"?

[Mandel]

Да мы с ним общались уже. Я у него в личке спрашивал.
Ничего внятного получить не удалось.
Значит, остается ряд Штурма?

[Mandel]

А если так поставить задачу. Пусть все $S_k$ заданы при $k$ четных. Надо подобрать остальные $S_k$, т.е. с $k$ нечетными, чтобы уравнение имело вещественные значения.

[Алексей К.]

Mandel в сообщении #152082 писал(а):

Что за система Штурма?

Количество действительных корней многочлена на отрезке $[a,b]$. Формулировка может и отпугнуть. В википедиях не расписано, в mathworld, помнится, тоже непонятки, а в Корне, Броншнейне-Семендяеве есть. Наверное, и в стандартных учебниках алгебры.
Ключевые слова:
Sturm chain, Sturm functions (sequence?); теорема Штурма о числе действительных корней многочлена.

[Mandel]

В просолове есть. я уже нашел.
вот с этим как быть:

Mandel писал(а):

А если так поставить задачу. Пусть все $S_k$ заданы при $k$ четных. Надо подобрать остальные $S_k$, т.е. с $k$ нечетными, чтобы уравнение имело вещественные значения.

[Mandel]

Т.е. решения никакого нет? ;(

[Mandel]

;(

[Mandel]

Вообщем задача ставится так:
какой набор степенных сумм $S_k$, $k=1,\ldots,2n$, со свойствами

$$ S_{2k-1} = 2k-1,\; k = 1,\ldots,n, $$

определяет вещественные числа $\lambda_j$, $j=1,\ldots,2n$.

Для примера, я нашел, для $n=3$:

$$ S_1 = 1, S_2 = 12, S_3 = 3, S_4 = 32, S_5 = 5, S_6 = 96 $$

Для $n=4$:

$$ S_1=1,S_2=11,S_3=3,S_4=29,S_5=5,S_6=90,S_7=7,S_8=297 $$

[Mandel]

Ну подскажите пожалуйста какие-нибудь мысли пожалуйста.

[Mandel]

Ну подскажите пожалуйста какие-нибудь мысли пожалуйста.

[Mandel]

А как вариант можно вообще доказать, что при фиксированных $S$ с нечетными индексами $S_k$=k при $k$ нечетном существуют остальные $S_j$ т.ч. все $\lambda_s$ действительны?