Действительные корни системы

[Mandel]

Здравствуйте. Такой вопрос возник. Есть система уравнений

$$ S_t = a_t, \; a \in R\;,t=1,\ldots,n $$

где

$$ S_k = \sum_{j=1}^n \lambda_j^k,\; \lambda \in C. $$

Так вот: какие условия надо наложить, чтобы корни системы были действительными, а не комплексными?

Добавлено спустя 2 часа 26 минут 36 секунд:

Эту систему я в другом виде переписал. Все корни $\lambda$ удовлетворяют уравнению

$$ \lambda^n - \sigma_1 \lambda^{n-1}+\sigma_2 \lambda^{n-2}+\ldots+(-1)^n \sigma_n = 0, $$

где

$$\sigma_1 = S_1,$$

$$ \sigma_m = (-1)^{m+1} m^{-1} \left(S_m + \sum_{j=1}^{m-1} (-1)^j S_{m-j} \sigma_j\right),\; m = 2,\ldots,n. $$

[Mandel]

Мне так думается, что при $S_{2k}=0,\; k=1,\ldots,[n/2]$ можно этого достичь, но я не могу доказать, если, конечно, это вообще так.

[Mandel]

Может есть теоремы на этот счет?

[Sherpa]

теоремы об устойчивости разве не говорят о чём-то похожем? критерии устойчивости всовозможные...

[Mandel]

Вообще ни о чем ;(

Добавлено спустя 53 минуты 49 секунд:

Но ведь проблемы устойчивости заключается в поиске критериев таких, что корни многочлена лежат в левой полуплоскости, т.е. действительные части отрицательны. Но мне надо, чтобы корни были действительны.

[Mandel]

Как быть-то?

[Narn]

При условии, что кратных корней нет - система Штурма даст ответ для любого конкретного многочлена.

[Mandel]

Кратный корней нет.

Добавлено спустя 2 минуты 34 секунды:

Что за система Штурма?

Добавлено спустя 2 минуты 12 секунд:

Я где-то краем уха слышал про так называемый Ряд Штурма.

Добавлено спустя 4 минуты 59 секунд:

Но этот ряд используется для подсчета положительных и отрицательных корней, а мне надо установить критерий, когда все числа действительны

[Eugeen1948]

Mandel писал(а):

Здравствуйте. Такой вопрос возник. Есть система уравнений

$$ S_t = a_t, \; a \in R\;,t=1,\ldots,n $$

где

$$ S_k = \sum_{j=1}^n \lambda_j^k,\; \lambda \in C. $$

Так вот: какие условия надо наложить, чтобы корни системы были действительными, а не комплексными?

Добавлено спустя 2 часа 26 минут 36 секунд:

Эту систему я в другом виде переписал. Все корни $\lambda$ удовлетворяют уравнению

$$ \lambda^n - \sigma_1 \lambda^{n-1}+\sigma_2 \lambda^{n-2}+\ldots+(-1)^n \sigma_n = 0, $$

где

$$\sigma_1 = S_1,$$

$$ \sigma_m = (-1)^{m+1} m^{-1} \left(S_m + \sum_{j=1}^{m-1} (-1)^j S_{m-j} \sigma_j\right),\; m = 2,\ldots,n. $$

С помою теоремы Гершгорина "О кругах" можно отрегулировать так, чтобы все корни системы были действительны. Почитайте автора, потом задайте конкретные вопроы, если непонятно.

[Narn]

Ряд Штурма и есть система Штурма, просто я ко второму названию привык (у нас оно употреблялось). Он позволяет находить количество вещественных корней на любом промежутке вещ. оси, или на всей оси (т. к. знаки всех составляющих ряд Штурма многочленов на бесконечности "устаканиваются"). Если кратных корней нет, то различных комплексных корней n, различных действительных - скажет Штурм. Если скажет, что действительных n, то все корни действительные, иначе есть комплексные.

Если краем уха - то см. Курош, Курс высшей алгебры, или Прасолов, Многочлены.

Про Гершгорина, увы, ничего не знаю. Это где смотреть-то, у Гантмахера?

[Mandel]

А о Ряде Штурма где почитать можно?

[ewert]

про Гершгорина -- в любом (почти) учебнике по численным методам. Хотя я и сам этого товарища совершенно не помню, каюсь.

(очень вряд ли это найдйтся в учебнике по какой-никакой алгебре)

[Mandel]

Цитата:

С помою теоремы Гершгорина "О кругах" можно отрегулировать так, чтобы все корни системы были действительны.

Там матрицу рассматривают, а здесь полином. что будет элементами этой матрицы?

Добавлено спустя 4 минуты 59 секунд:

А у Просолова есть теорема Сильвестра на странице 43.
она тут не подойдет?

Добавлено спустя 2 минуты 44 секунды:

Т.е. ряд Штурма ищет только количество действительных корней?

Добавлено спустя 47 минут 13 секунд:

м?

[Brukvalub]

Eugeen1948 в сообщении #152085 писал(а):

С помою теоремы Гершгорина "О кругах" можно отрегулировать так, чтобы все корни системы были действительны. Почитайте автора, потом задайте конкретные вопроы, если непонятно.

Бред.
Круги Гершгорина используются для локализации в некоторых случаях расположения комплексных собственных значений матриц. И это принципиально именно круги на комплексной плоскости, поэтому вещественности этими кругами не поймать. См. , например, http://www.math.spbu.ru/user/pan/Page3-1.htm

[Mandel]

Ну а чем же все-таки ловить?
Только рядом Штурма?