Мат.ожидание и дисп. распределения биноминального и Пуассона

[apt]

Встал вопрос: как вывести формулы для математического ожидания и дисперсии распределений биноминального и Пуассона.
Мои попытки:
Только для распределения Пуассона удалось вывести мат. ожидание:

$$\bar{n}=\sum^{\infty}_{n=0} n p_{\lambda}(n)=\sum^{\infty}_{n=0} \frac{\lambda^{n-1}\lambda}{(n-1)!}\exp(-\lambda)=\lambda\sum^{\infty}_{n=0} p_{\lambda}(n-1)=\lambda$$

Далее что-то в таком духе

$$D[n]=\sum^{\infty}_{n=0} (n-\bar{n})^2p_{\lambda}(n)=\sum^{\infty}_{n=0} (n-\lambda)^2 \frac{\lambda^n}{n!}\exp(-\lambda)=\bigg|\exp(\lambda)=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{\lambda^n}{n!}\bigg|=\frac{\sum^{\infty}_{n=0} (n-\lambda)^2 \frac{\lambda^n}{n!}}{\sum^{\infty}_{n=0} \frac{\lambda^n}{n!}}=\sum^{\infty}_{n=0}(n-\lambda)^2 $$

$$D[n]=\sum^{\infty}_{n=0}(n-\lambda)^2 = \infty$$

'
Для биноминального

$$\bar{n}=\sum^{N}_{n=0} n p_N(n)=\sum^{N}_{n=0} n p^n q^{N-n} \frac{N!}{(N-n)!n!}=Np\sum^{N}_{n=0} p^{n-1}q^{N-n}\frac{(N-1)!}{(N-n)!(n-1)!}= \bigg|k=n-1\bigg|=$$

$$=Np \sum^{N-1}_{k=1}p^k q^{N-k-1}\frac{(N-1)!}{(N-k-1)!(k)!}=Np\sum^{N}_{n=0} p_{N-1}(k)=Np$$

Получается, что не получается вывести дисперсию для обоих распределений

[zykov]

apt в сообщении #1549081 писал(а):

$$...=\frac{\sum^{\infty}_{n=0} (n-\lambda)^2 \frac{\lambda^n}{n!}}{\sum^{\infty}_{n=0} \frac{\lambda^n}{n!}}=\sum^{\infty}_{n=0}(n-\lambda)^2 $$

[apt]

zykov в сообщении #1549082 писал(а):

.

Разве мы не можем вынести знак суммы перед дробью, если пределы и переменная одинаковые?

[mihaild]

apt в сообщении #1549084 писал(а):

Разве мы не можем вынести знак суммы перед дробью, если пределы и переменная одинаковые?

А что, $\frac{1 \cdot 10 + 3 \cdot 20}{10 + 20} = 1 + 3$?

[apt]

Да, плохо написал
Тогда вообще непонятно, что делать

[mihaild]

Честно раскрыть скобки и просуммировать ряды. Там получится три ряда, два почти как у экспоненты, третий надо будет на что-то домножить и почленно проинтегрировать.

[Otta]

mihaild в сообщении #1549088 писал(а):

Честно раскрыть скобки и просуммировать ряды. Там получится три ряда, два почти как у экспоненты, третий надо будет на что-то домножить и почленно проинтегрировать.

apt
Попробуйте со всего этого начать при вычислении матожидания. Будет ясно, в чем затык.
(И кстати, неужели Вас учили матожидание обозначать как $\bar n$? Не выборочное среднее, а именно матожидание?)

[Someone]

apt в сообщении #1549087 писал(а):

Да, плохо написал
Тогда вообще непонятно, что делать

А что, математическое ожидание и дисперсию надо вычислять непременно таким способом?

[apt]

Otta в сообщении #1549090 писал(а):

Попробуйте со всего этого начать при вычислении матожидания. Будет ясно, в чем затык.
(И кстати, неужели Вас учили матожидание обозначать как $\bar n$? Не выборочное среднее, а именно матожидание?)

Мат. ожидание везде по разному обозначается и в процессе чтения книг я так и не понял, какое из них предпочтительнее. Видел и $M[x], E[x]$
Мат. ожидание-то я вычислил, а вот дисперсия
Попробовал, как подсказали - не получается, ибо не знаю, что именно должно получиться. Вообще никогда не понимал как делать эти фокусы с домножением на единицу и прибавлением нуля

-- 19.02.2022, 21:36 --

Someone в сообщении #1549092 писал(а):

А что, математическое ожидание и дисперсию надо вычислять непременно таким способом?

А вы подскажите, какие есть ещё

[Lia]

apt в сообщении #1549093 писал(а):

А вы подскажите, какие есть ещё

Не знаете - так не знаете. Считайте, как умеете. Можете не торопиться, полчаса на раздумья - еще не время.

apt в сообщении #1549093 писал(а):

Видел и $M[x], E[x]$

И первым способом обозначают, и вторым. Первым - обычно в России.

[apt]

С дисперсией биноминального распределения вроде разобрался, а вот с дисперсией распределения Пуассона не могу...

$$D[n]=\sum^{\infty}_{n=0}(n-M[n])^2 p_{\lambda}(n)=\sum^{\infty}_{n=0}(n-\lambda)^2\frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}=$$

$$=e^{-\lambda}\sum^{\infty}_{n=0}\left[\frac{n^2 \lambda^n}{n!}-\frac{n\lambda^n}{n!}+\frac{\lambda^2\lambda^n}{n!}\right]=\bigg|\frac{n^2}{n!}=\frac{1}{(n-2)!}+\frac{1}{(n-1)!}\bigg|=$$

$$=e^{-\lambda}\left[\sum^{\infty}_{n=0}\lambda^n\left(\frac{1}{(n-2)!}+\frac{1}{(n-1)!}\right)-\lambda\sum^{\infty}_{k=1}\frac{\lambda^{k}}{(k)!}+\lambda^2\sum^{\infty}_{n=0}\frac{\lambda^n}{n!}\right]=$$

$$=e^{-\lambda}\left[\lambda^2\sum^{\infty}_{k=2}\frac{\lambda^{k}}{(k)!}+\lambda\sum^{\infty}_{k=1}\frac{\lambda^{k}}{(k)!}-\lambda\sum^{\infty}_{k=1}\frac{\lambda^{k}}{(k)!}+\lambda^2\sum^{\infty}_{n=0}\frac{\lambda^n}{n!}\right]=$$

$$=e^{-\lambda}\left[\lambda^2\sum^{\infty}_{k=2}\frac{\lambda^k}{k!}+\lambda^2e^{\lambda}\right]=e^{-\lambda}\left[\lambda^2\left(\sum^{\infty}_{k=0}\frac{\lambda^k}{k!}-\frac{\lambda^0}{0!}-\frac{\lambda^1}{1!}\right)+\lambda^2e^{\lambda}\right]=$$

$$=e^{-\lambda}\left[\lambda^2\left(e^{\lambda}-1-\lambda\right)+\lambda^2e^{\lambda}\right]=\lambda^2\frac{2e^{\lambda}-\lambda-1}{e^{\lambda}}$$

А что делать дальше?

[mihaild]

Исправлять арифметические ошибки. Например у вас есть член ряда $\frac{1}{(n - 2)!}$ при $n = 0$ - что такое $(-2)!$? И в переходе от 3й строчки к 4й последнее слагаемое странным образом поменялось.

[apt]

mihaild в сообщении #1549368 писал(а):

что такое $(-2)!$? И в переходе от 3й строчки к 4й последнее слагаемое странным образом поменялось.

Я же потом меняю индексы, чтобы все в порядке было

4ой строчке верить, опечатка

Отредактировал, но сути не меняет

[mihaild]

apt в сообщении #1549370 писал(а):

Я же потом меняю индексы, чтобы все в порядке было

"Потом" это сделать уже не получится, из неправильного ряда собрать правильный уже невозможно, нужно с самого начала следить за происходящим на границах.
Ну и еще у вас формула квадрата разности какая-то подозрительная получается.

[apt]

А, да

$$D[n]=\sum^{\infty}_{n=0}(n-M[n])^2 p_{\lambda}(n)=\sum^{\infty}_{n=0}(n-\lambda)^2\frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}=$$

$$=e^{-\lambda}\sum^{\infty}_{n=0}\left[\frac{n^2 \lambda^n}{n!}-\frac{2n\lambda\lambda^n}{n!}+\frac{\lambda^2\lambda^n}{n!}\right]=\bigg|\frac{n^2}{n!}=\frac{1}{(n-2)!}+\frac{1}{(n-1)!}\bigg|=$$

$$=e^{-\lambda}\left[\sum^{\infty}_{n=0}\lambda^n\left(\frac{1}{(n-2)!}+\frac{1}{(n-1)!}\right)-2\lambda^2\sum^{\infty}_{k=1}\frac{\lambda^k}{k!}+\lambda^2\sum^{\infty}_{n=0}\frac{\lambda^n}{n!}\right]=$$

$$=e^{-\lambda}\left[\lambda^2\sum^{\infty}_{k=2}\frac{\lambda^k}{k!}+\lambda\sum^{\infty}_{k=1}\frac{\lambda^k}{k!}-2\lambda^2\sum^{\infty}_{k=1}\frac{\lambda^k}{k!}+\lambda^2\sum^{\infty}_{n=0}\frac{\lambda^n}{n!}\right]=$$

$$=e^{-\lambda}\left[\lambda^2\sum^{\infty}_{k=2}\frac{\lambda^k}{k!}+\left(\lambda-2\lambda^2\right)\sum^{\infty}_{k=1}\frac{\lambda^k}{k!}+\lambda^2e^{\lambda}\right]=$$

$$=e^{-\lambda}\left[\lambda^2\left(\sum^{\infty}_{k=0}\frac{\lambda^k}{k!}-\frac{\lambda^0}{0!}-\frac{\lambda^1}{1!}\right)+\left(\lambda-2\lambda^2\right)\left(\sum^{\infty}_{k=0}\frac{\lambda^k}{k!}-\frac{\lambda^0}{0!}\right)+\lambda^2e^{\lambda}\right]=$$

$$=e^{-\lambda}\left[\lambda^2\left(e^{\lambda}-1-\lambda\right)+\left(\lambda-2\lambda^2\right)\left(e^{\lambda}-1\right)+\lambda^2e^{\lambda}\right]=$$

$$=e^{-\lambda}\left[\lambda^2e^{\lambda}-\lambda^2-\lambda^3+\lambda e^{\lambda}-\lambda-2\lambda^2 e^{\lambda}+2\lambda^2+\lambda^2 e^{\lambda}\right]=$$

$$=e^{-\lambda}\left[-\lambda^3+\lambda e^{\lambda}-\lambda+\lambda^2\right]=\lambda\frac{e^{\lambda}-\lambda^2+\lambda-1}{e^{\lambda}}$$

Но всё равно что-то