Система уравнений с корнями

[Ivan 09]

$$\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}=3\\\sqrt{x+5}+\sqrt{y+3}=5\end{cases}$$

Добрый вечер. Дана система, нужно решить её. Легко подобрать пару(4;1). Решение полностью у меня слишком громоздкое. Я не уверен, что мой путь оптимальный. Решал так:
Возвел обе части в квадрат. Первое уравнение стало иметь вид $x+2\sqrt{xy}+y=9$

$-\sqrt{xy}=4-\sqrt{(x+5)(y+3)}$ получил после преобразований из второго (использовал, что $x+y=9-2\sqrt{xy}$)

нашел $y=\frac{37-7x}{9}$

$\sqrt{x}+\frac{\sqrt{37-7x}}{{3}}=3$

Получил квадратное уравнение относительно $\sqrt{x}$

Интересно, может есть другие пути решения?

[zykov]

Можно записать систему с 4 неизвестными

$$\begin{cases}a+b=3\\c+d=5\\c^2-a^2=5\\d^2-b^2=3\end{cases}$$

Из первых двух линейных можно выразить $a=3-b$ и $c=5-d$.
Если это подставить в номер три, то будет $d^2-10 d-b^2+6 b+16=5$ и используя номер 4 получим $3-10 d+6 b+16=5$, т.е. $5 d-3 b=7$.
Далее решаем

$$\begin{cases}5 d-3 b=7\\d^2-b^2=3\end{cases}$$

Что сводится к квадратному уравнению, которое решается даже без дискриминанта, т.к. один из корней уже подобран.

[Sender]

Как вариант, если вычесть из 2-го уравнения 1-е, получим

$$(\sqrt{x+5}-\sqrt{x})+(\sqrt{y+3}-\sqrt{y})=2$$

$$\frac{5}{\sqrt{x+5}+\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{y+3}+\sqrt{y}}=2$$

Обозначим $u=\sqrt{x+5}+\sqrt{x}$, $v=\sqrt{y+3}+\sqrt{y}$. Далее понятно.

[zykov]

zykov в сообщении #1549342 писал(а):

Если это подставить в номер три, то будет $d^2-10 d-b^2+6 b+16=5$ и ...

Это решение "в лоб". Вполне нормальное.
Но можно чуть по-другому сделать. Если из номер 3 вычесть номер 4, то справа будет $5-3=2$, а слева будет

$$(c^2-a^2)-(d^2-b^2)=(c^2-d^2)-(a^2-b^2)=(c+d)(c-d)-(a+b)(a-b)=5(c-d)-3(a-b)$$

Т.е. для четырёх переменных получаем три линейных ограничения - это новое и два первых из системы. Что задаёт прямую в 4D.
Далее, квадратное равенство 3 или 4 можно рассмотерть на этой прямой. Результат тот же.