Диофантово уравнение для восьмиклассников

[nnosipov]

Решите уравнение $x^4-2x^3y-2x^2+y^2+1=0$ в целых числах.

Комментарий. Прошу обратить внимание на заголовок темы.

Upd. В условии опечатка: речь идет об уравнении

$$x^4-2xy^3-2x^2+y^2+1=0.$$

[novichok2018]

Если рассмотреть как квадратное по $y$, то условие на дискриминант приводит к уравнению $u^2+v^2=w^2$,
для него вроде есть полный набор параметрических формул целочисленных решений. Не знаю, можно ли на этом пути добраться до конца решения.

[nnosipov]

novichok2018 в сообщении #1549224 писал(а):

Если рассмотреть как квадратное по $y$

Вы совершенно правы, это решает задачу.

novichok2018 в сообщении #1549224 писал(а):

условие на дискриминант приводит к уравнению $u^2+v^2=w^2$

Нет, это лишнее. Дело в том, что дискриминант можно "зажать" между двумя последовательными квадратами.

К сожалению, в условии досадная опечатка: имелось в виду уравнение

$$x^4-2xy^3-2x^2+y^2+1=0.$$

Это гораздо интереснее! Прошу переподумать над задачей.

[Andrey A]

(Решение)

nnosipov в сообщении #1549253 писал(а):

$$x^4-2xy^3-2x^2+y^2+1=0.$$

Перепишем так $x^4-2x^2+1=2xy^3-y^2$, так $(x^2-1)^2=y^2(2xy-1)$ и (допустив $y \neq 0$) так:

$$\left ( \dfrac{x^2-1}{y} \right )^2=2xy-1$$

В правой части целое нечетное. Значит, основание квадрата левой части также целое нечетное. Это возможно только если один из параметров $x,y$ — четное число. Но тогда правая часть при делении на $4$ дает остаток $3$, левая – $1.$ Противоречие.


Если же $y=0,$ то $x=\pm 1$ — единственное решение.

[nnosipov]

Andrey A
Да, все верно.