2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Izho 2022 , задача 5
Сообщение18.02.2022, 16:08 


24/12/13
353
Дан многочлен $f(x)$ с вещественными коэффицентами степени выше 1. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде
$$f(n+1)+f(n+2)+…+f(n+k)$$

с натуральными $n,k$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Izho 2022 , задача 5
Сообщение18.02.2022, 18:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3136
Уфа
Идея-то понятна: на больших интервалах тупо слишком редко попадаются числа, представимые в таком виде.
На примере многочлена $f(x)=ax^2$ (понятно, что чем выше степень многочлена, тем хуже).
$$f(n+1)+f(n+2)+…+f(n+k)=\frac{a}{6}((n+k)(n+k+1)(2n+2k+1)-n(n+1)(2n+1))$$
В диапазон $[N^3..(N+1)^3]$ попадает, как показывают численные эксперименты, $O(N)$ чисел, что меньше количества чисел в этом интервале: $O(N^2)$.
Значит, идея работает. Но как бы всё это строго обосновать... Интегралы надо оценивать, а лень.

 Профиль  
                  
 
 Re: Izho 2022 , задача 5
Сообщение20.02.2022, 15:26 
Заслуженный участник


20/12/10
9107
Еще одна идея: попробовать доказать, что в указанном виде непредставимы все достаточно большие простые числа. Дело в том, что сумма $f(n+1)+\ldots+f(n+k)$ как многочлен от $n$ и $k$ всегда делится на $k$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Izho 2022 , задача 5
Сообщение21.02.2022, 07:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
Степень полинома равна $s$. Если предположить, что все натуральные числа больше $M$ представимы указанными суммами, то отношение $f(n)$ к количеству сумм с ростом $n$ стремится максимум к единице. Однако количество сумм из одного слагаемого, которые не превосходят $f(n)$, равно $n$. Из двух слагаемых - $\displaystyle n/\sqrt[s]{2}$. И так далее.
$$n\left(\frac{1}{\sqrt[s]{1}}+\frac{1}{\sqrt[s]{2}}+ \dots  + \frac{1}{\sqrt[s]{n}}\right) = \alpha n^{2-1/s} < \beta n^{s} $$
Таким образом, сумм не хватит.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group