Странная матрица. Вопрос Решен!

[Inquisitor]

Вопрос Решен!

Есть у меня одна задача с матрицами, вобщем это не важно. Важно то, что в ответе получается что столбцы этой матрицы линейно независимы (все столбцы), но при этом следствие определителей говорит что если есть 2 одинаковые строки то определитель 0. А если определитель 0 то столбцы должны быть зависимы.

\[ \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 & 0 & { - 1} \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ \end{array} } \right) - > \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 & 0 & { - 1} \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ \end{array} } \right)\det = 0 \]

Я чего-то не понимаю?

[bubu gaga]

А как Вы приходите к независимости столбцов, если не через определитель? Они могут быть весьма сложным образом зависимы. В Вашем случае сумма первого и последнего столбцов равна сумме второго и третьего.

[Inquisitor]

bubu gaga писал(а):

А как Вы приходите к независимости столбцов, если не через определитель? Они могут быть весьма сложным образом зависимы. В Вашем случае сумма первого и последнего столбцов равна сумме второго и третьего.

В этом то и есть странность матрицы, столбцы зависимы а в учебнике написано что все 4 столбца независимы.

[bubu gaga]

Ой, а у Вас ведь матрица не квадратная!

В общем так: столбцы зависимы, строки тоже, ранг меньше четырёх, определитель найти нельзя, для вычисления ранга воспользуйтесь методом Гаусса.

[Inquisitor]

bubu gaga писал(а):

Ой, а у Вас ведь матрица не квадратная!

В общем так: столбцы зависимы, строки тоже, ранг меньше четырёх, определитель найти нельзя, для вычисления ранга воспользуйтесь методом Гаусса.

Ранг можно найти и без метода гаусса и он равен трем, мне в задачи необходимо указать базис линейной оболочки векторов. А указать базисные столбцы я немогу т.к. столбцы и строки зависимы. Что за бред такой получается?

[Brukvalub]

Inquisitor в сообщении #154808 писал(а):

мне в задачи необходимо указать базис линейной оболочки векторов.

Достаточно построить матрицу, по строкам которой расположены векторы, и привести ее к ступ. виду. Ненулевые строки и образуют базис линейной оболочки.

[Really]

Inquisitor в сообщении #154808 писал(а):

Ранг можно найти и без метода гаусса и он равен трем, мне в задачи необходимо указать базис линейной оболочки векторов. А указать базисные столбцы я немогу т.к. столбцы и строки зависимы. Что за бред такой получается?

Линейная зависимость столбцов не мешает находить базис линейной оболочки. Приводите матрицу по столбцам Гауссом - все найдете.

[Inquisitor]

Brukvalub и Really

Я не сомневаюсь в том, что вы правы, но мне преподаватель говорил: Базис линейной оболочки векторов может быть только независимые столбцы/строки. Может я чего-то непонял ?

[Brukvalub]

Inquisitor в сообщении #154911 писал(а):

Я не сомневаюсь в том, что вы правы, но мне преподаватель говорил: Базис линейной оболочки векторов может быть только независимые столбцы/строки.

Это написано не по-русски, но по сути - верно.

[Inquisitor]

Brukvalub писал(а):

Inquisitor в сообщении #154911 писал(а):

Я не сомневаюсь в том, что вы правы, но мне преподаватель говорил: Базис линейной оболочки векторов может быть только независимые столбцы/строки.

Это написано не по-русски, но по сути - верно.

У меня щас мировозрение поменяется от ваших комментариев!

Brukvalub писал(а):

Линейная зависимость столбцов НЕ мешает находить базис линейной оболочки

Объясните мне наконец, зависимость или не зависимость столбцов/строк каким либо образом влияет на базис линейной оболочки векторов?

[Brukvalub]

Inquisitor в сообщении #154924 писал(а):

Brukvalub писал(а):

Цитата:

Линейная зависимость столбцов НЕ мешает находить базис линейной оболочки

Я этого не писал, но с данным высказыванием Really согласен.

Inquisitor в сообщении #154924 писал(а):

Объясните мне наконец, зависимость или не зависимость столбцов/строк каким либо образом влияет на базис линейной оболочки векторов?

Влияет.

[bubu gaga]

В базисе не может быть зависимых векторов, и количество этих векторов должно быть равно размерности пространства.
http://ru.wikipedia.org/wiki/Базис

У Вас четыре столбца -- четыре вектора. Их оболочка (span) трёхмерна (почему?). То есть один вектор лишний. Чтобы найти его воспользуйтесь методом Гаусса. Остальные три дадут Вам базис.
http://ru.wikipedia.org/wiki/Метод_Гаусса

И вообще, как Вы нашли ранг матрицы?
http://ru.wikipedia.org/wiki/Ранг_матрицы

[Inquisitor]

Brukvalub писал(а):

Inquisitor в сообщении #154924 писал(а):

Brukvalub писал(а):

Цитата:

Линейная зависимость столбцов НЕ мешает находить базис линейной оболочки

Я этого не писал, но с данным высказыванием Really согласен.

Inquisitor в сообщении #154924 писал(а):

Объясните мне наконец, зависимость или не зависимость столбцов/строк каким либо образом влияет на базис линейной оболочки векторов?

Влияет.

Если вы сможете мне объяснить как зависимость/независимость столбцов/строк не мешает нахождение базиса линейной оболочки ПРИ ЭТОМ зависимость/независимость столбцов/строк влияет на нахождение вы получите нобелевскую премию! Даю гарантию

bubu gaga писал(а):

В базисе не может быть зависимых векторов, и количество этих векторов должно быть равно размерности пространства.

У Вас четыре столбца -- четыре вектора. Их оболочка (span) трёхмерна (почему?). То есть один вектор лишний. Чтобы найти его воспользуйтесь методом Гаусса. Остальные три дадут Вам базис.

И вообще, как Вы нашли ранг матрицы?

Так как меня в учебнике учили и ответ сходиться с ответом задачи.

[bubu gaga]

Inquisitor писал(а):

Так как меня в учебнике учили и ответ сходиться с ответом задачи.

Ах, знаменитый метод "из учебника", как же, знаем.

[mkot]

Смотрите: пусть есть множество векторов $a_1, a_2, \ldots, a_n$ они могут быть
как угодно линейно ЗАВИСИМЫ, это множество может содержать нулевые вектора.
Необходимо найти базис линейной оболочки.
Это такое множество векторов, что
(1) они линейно НЕЗАВИСИМЫ,
(2) их линейная оболочка совпадает с лин. оболочкой векторов $a_1, a_2, \ldots, a_n$.

Заметьте где может быть зависимость, а где её быть не может.

Добавлено спустя 2 минуты 35 секунд:

bubu gaga писал(а):

И вообще, как Вы нашли ранг матрицы?

Ранг наверное был найден методом окаймляющих миноров.