Равносильность систем линейных уравнений

[Mash_7]

Здравствуйте!
Помогите пожалуйста прояснить такой момент. Когда в книгах дают определение равносильности (эквивалентности) двух систем линейных уравнений, пишут, что у них либо множества решений совпадают, либо они обе несовместны. То есть любые две несовместные системы равносильны. Но попадались источники, в которых дополнительно указывалось, что несовместные системы равносильны, если у них число неизвестных одинаково. Как всё-таки правильно? Будут ли несовместные системы с разным числом неизвестных равносильны или нет? Или это зависит от "вкусов" автора?

[zykov]

Не знаю, как у авторов, но раз уж говорится об эквивалентности, то и сами системы должны быть над одним и тем же пространством.

[Sinoid]

Вот почитайте, буквально на днях обсуждали: http://dxdy.ru/post1548082.html#p1548082 . Никто не запрещает включать в решение еще и мнимые неизвестные. Но мне это так и не помогло решить задачу, поэтому не знаю, насколько ценен этот подход. Но, скорее всего, все-таки, да, ценен.

[Markus228]

Mash_7 в сообщении #1548889 писал(а):

Когда в книгах дают определение равносильности (эквивалентности) двух систем линейных уравнений, пишут, что у них либо множества решений совпадают, либо они обе несовместны.

Второе, кстати, следует из первого

[Sinoid]

Sinoid в сообщении #1548891 писал(а):

мнимые неизвестные.

Тут лучше было бы сказать фиктивные неизвестные.

[Mash_7]

Sinoid в сообщении #1548891 писал(а):

Вот почитайте, буквально на днях обсуждали: http://dxdy.ru/post1548082.html#p1548082 . Никто не запрещает включать в решение еще и мнимые неизвестные. Но мне это так и не помогло решить задачу, поэтому не знаю, насколько ценен этот подход. Но, скорее всего, все-таки, да, ценен.

Сложно С учётом того, что это первые страницы учебника...

[Mikhail_K]

Mash_7 в сообщении #1548889 писал(а):

Как всё-таки правильно? Будут ли несовместные системы с разным числом неизвестных равносильны или нет? Или это зависит от "вкусов" автора?

Как бы сказать... любое математическое понятие вводится для какой-то цели. Например, понятие равносильности вводится, чтобы можно было точно говорить о том, какие преобразования годятся для решения систем уравнений (те, которые всегда приводят к равносильным системам). С этой точки зрения, какой интерес может представлять вопрос о равносильности или неравносильности систем уравнений относительно разного количества неизвестных? Так что, по большому счёту, это именно что вопрос вкуса автора, причём автору не обязательно вообще делать здесь акцент на каком-либо варианте.

А с другой стороны, можно задуматься вот о чём. Если у нас есть система уравнений, содержащая неизвестные $x,y$. То её вполне можно представлять себе и как систему уравнений относительно $x,y,z$ - просто переменная $z$ в уравнениях не участвует, но она вполне себе тоже может быть неизвестной, так же как и $x,y$. Конечно, вряд ли из такой системы удастся $z$ найти, раз про это $z$ там ничего не говорится - ну так системы и не обязаны быть однозначно разрешимыми. Если так рассуждать, то можно любые две системы рассматривать как системы относительно одинакового количества неизвестных, даже если количество реально присутствующих там неизвестных разное.