Реактивное движение

[misha.physics]

Здравствуйте.
Я нашёл на форуме несколько тем по реактивному движению, а также посмотрел в учебниках, и мне захотелось попробовать изложить это своими словами максимально подробно на мой взгляд. Может кто-то сможет прочитать и высказать свое мнение относительно стиля, строгости, каких-то моментов и т.д. В конце также рассмотрен простой пример.

Движение тела с переменной массой (реактивное движение). Уравнение Мещерского.

В инерциальной системе отсчёта (ИСО) (неподвижной, глобальной) рассмотрим ракету, которая непрерывно выбрасывает наружу сгоревший газ с постоянной скоростью $\mathbf u$ относительно ракеты. Пусть $m(t)$ масса ракеты, $\mathbf v(t)$ скорость ракеты относительно ИСО, $\mathbf F_{react}(t)$ реактивная сила, то есть сила действующая на ракету со стороны газа, $\mathbf F(t)$ равнодействующая всех остальных сил (то есть всех сил кроме силы, действующей со стороны газа), действующих на ракету. Считается, что массу ракеты составляет только топливо, находящееся в ракете. Второй закон Ньютона для ракеты:

$$\frac{d\mathbf p(t)}{dt}=\mathbf F_{react}(t)+\mathbf F(t)$$

где $\mathbf p(t)=m(t)\mathbf v(t)$ импульс ракеты. Тогда:

$$m(t)\frac{d\mathbf v(t)}{dt}=-\mathbf v(t)\frac{dm(t)}{dt}+\mathbf F_{react}(t)+\mathbf F(t)$$

По третьему закону Ньютона, сила $\mathbf F_{react}(t)$ с которой газ действует на ракету противоположна силе $\mathbf F_{gas}(t)$, с которой ракета действует на газ:

$$\mathbf F_{react}(t)=-\mathbf F_{gas}(t)$$

Сила, действующая на газ со стороны ракеты:

$$\mathbf F_{gas}(t)=\frac{d\mathbf p_{gas}(t)}{dt}$$

где $\mathbf p_{gas}(t)$ импульс газа (всего, который вышел из ракеты). Далее имеем:

$$\frac{d\mathbf p_{gas}(t)}{dt}=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta\mathbf p_{gas}(t,\Delta t)}{\Delta t}$$

Здесь $\Delta\mathbf p_{gas}(t,\Delta t)$ изменение импульса газа за промежуток времени от $t$ до $t+\Delta t$, то есть это импульс, который получает та часть газа, которая выбрасывании из ракеты за промежуток времени от $t$ до $t+\Delta t$. Этот импульс равен:

$$\Delta\mathbf p_{gas}(t,\Delta t)=-\overline{\mathbf v}_{gas}(t,\Delta t)\Delta m(t,\Delta t)$$

Здесь под $\overline{\mathbf v}_{gas}(t,\Delta t)$ понимается средняя скорость относительно ИСО части газа массой $\Delta m(t,\Delta t)$, которая выбрасывается за промежуток времени от $t$ до $t+\Delta t$. То есть величина $\overline{\mathbf v}_{gas}(t,\Delta t)$ определяется равенством выше в том же смысле, в каком среднее значение $\mu$ функции $f(x)$ на промежутке $[a;b]$ определяется первой теоремой о среднем значении:

$$\int\limits_a^bf(x)dx=\mu(b-a)$$

что можно записать и так:

$$\Delta f(x,\Delta x)=\mu\Delta x$$

С другой стороны, $\Delta m(t,\Delta t)$ это изменение массы ракеты за промежуток времени от $t$ до $t+\Delta t$, оно отрицательно, потому что при выбросе газа масса ракеты уменьшается. Получаем:

$$\mathbf F_{gas}(t)=-\lim_{\Delta t\to0}\frac{\overline{\mathbf v}_{gas}(t,\Delta t)\Delta m(t,\Delta t)}{\Delta t}=-\mathbf v_{gas}(t)\frac{dm(t)}{dt}$$

где $\mathbf v_{gas}(t)$ скорость газа относительно ИСО, который в момент времени $t$ выбрасывается из ракеты. Получаем:

$$m(t)\frac{d\mathbf v(t)}{dt}=(\mathbf v_{gas}(t)-\mathbf v(t))\frac{dm(t)}{dt}+\mathbf F(t)$$

Разность $\mathbf v_{gas}(t)-\mathbf v(t)$ это скорость газов относительно ракеты, то есть это $\mathbf u$. В частном случае в момент времени $t^*$, когда $\mathbf v(t^*)=-\mathbf u$ получаем $\mathbf v_{gas}(t^*)=0$, то есть тот газ, который выбрасывается из ракеты в момент времени $t^*$, будет неподвижен относительно ракеты (понятно, что речь идет об бесконечно малом количестве газа, который выбрасывается из ракеты в момент времени $t$, то есть за одно мгновение, хотя практически это и невозможно). Окончательно:

$$m(t)\frac{d\mathbf v(t)}{dt}=\mathbf u\frac{dm(t)}{dt}+\mathbf F(t)$$

Это и есть уравнение Мещерского для движения тела с переменной массой (реактивного движения).

Пример

Пусть $dm(t)/dt=-\mu=\operatorname{const}$, $m(t)=m_0-\mu t$, $m_0=m(0)$, $\mathbf F(t)=m(t)\mathbf g$, где $\mathbf g=\operatorname{const}$. Выберем ось $Ox$ в направлении движения ракеты, тогда уравнение Мещерского:

$$\frac{d^2x(t)}{dt^2}=\frac{\mu u}{m_0-\mu t}-g$$

где $u=|\mathbf u|$, $g=|\mathbf g|$. Выберем начальные условия $x(0)=0$, $v_x(0)=0$. Движение рассматривается на промежутке времени $t\in[0,m_0/\mu)$. То есть в начальный момент времени $t=0$ ракета находится в начале системы отсчёта и неподвижна. Само движение расматривается до момента времени $t<m_0/\mu$, то есть пока ещё не вся масса ракеты превратилась в газ. Закон движения:

$$x(t)=u\left[\left(\frac{m_0}{\mu}-t\right)\ln\left(1-\frac{\mu t}{m_0}\right)+t\right]-\frac{gt^2}{2}$$

Возьмём $u=1$, $m_0=1$, $\mu=0.1$, $g=0.1$, получаем строго монотонную кривую на $t\in[0;10)$:

$$x(t)=(10-t)\ln(1-0.1t)+t-0.05t^2$$

[sergey zhukov]

misha.physics
Мне лично понятно. Думаю, можно так долго и не расписывать.

Скажем, имеем $\vec{F}=m\vec{a}$. Для переменной во времени массы имеем $\vec{F}=m(t)\vec{a}$. Тяга реактивной струи равна массовому расходу, умноженному на относительную скорость выхлопных газов $\vec{F}_{reac}=Q_m\vec{u}$.

Тогда $m(t)\vec{a}=Q_m\vec{u}$. Можно прибавить сюда еще любую произвольную внешнюю силу. Т.е. для объяснения, что и откуда, этого будет вполне достаточно.

[lel0lel]

Порой пространные объяснения скрывают суть.