Трансфинитные ординалы и действительные числа

[Munuvonaza]

Возьмем следующую схему сопоставления трансфинитных ординалов и десятичных действительных чисел от 0 включительно до 1 не включительно.

1)Поскольку все числа имеют 0 слева от десятичной точки, нумеруем только бесконечный хвост справа. В каждом действительном числе счетно-бесконечное число разрядов, то есть $\omega$-ого и далее разрядов не существует.
2) Возьмем первый разряд $n_1$ после десятичной точки и сопоставим ему ординал $E_1 = \omega \cdot n_1$. Далее идем ко второму разряду и сопоставляем двум разрядам ординал $E_2 = \omega^2 \cdot n_2 + E_1$ и так далее. То есть числу до $i$-ого разряду сопоставляется ординал $E_i = \omega^i \cdot n_i + E_{i-1}$. Поскольку имеется не более чем $\omega$ разрядов, то итоговому числу сопоставляется ординал $E_{\omega}$
3) Каждый из ординалов $E_{\omega}$ записан в нормальном канторовской форме и при этом строго меньше $\omega^{\omega+1}$, поскольку в действительном числе имеется не более чем $\omega$-овый разряд. Кроме того для любого действительного числа рассматриваемого вида сопоставляемый ординал $E$ будет различным, то есть биекция есть в обе стороны.
4) Если объединить все получившиеся ординалы в множество, то получившиеся значение будет строго меньше $\omega^{\omega+1}$, поскольку ни один из объединяемых ординалов не превышает $\omega^{\omega+1}$. А поскольку ординал $\omega^{\omega+1}$ считается счетным, то значит и число действительных чисел от 0 до 1 тоже счетное.

Если вышеуказанное не так, то ошибка в каком-то из шагов, а значит что из следующего верно:
1) В десятичном действительном числе от 0 до 1 невключительно на самом деле больше, чем $\omega$ разрядов (хотя трансфинитных разрядов в действительных чисел не существует)
2) Построение биекции с ординалами вида $E_{\omega}$ выполнено неправильно, потому что например, нельзя складывать бесконечные суммы слева и предел $E_i$ не существует (хотя не видно причин, что мешает существованию такого ординала, тем более что он в нормальной канторовской форме)
3) Объединение всех ординалов вида $E_{\omega}$, полученных от всех действительных чисел, на самом деле больше, чем $\omega^{\omega+1}$ (не понятно как фактически складывая ординалы меньше $\omega^{\omega+1}$, получить больше чем $\omega^{\omega+1}$)
4) Мощность ординала $\omega^{\omega+1}$ на самом деле не счетная (вроде как все источники подтверждают, что все-таки счетная)

Где же ошибка, хотя бы неформально? Спасибо!

[mihaild]

Munuvonaza в сообщении #1548579 писал(а):

Каждый из ординалов $E_{\omega}$ записан в нормальном канторовской форме

Разве? Нормальная форма - это конечная сумма степеней $\omega$.

Munuvonaza в сообщении #1548579 писал(а):

Кроме того для любого действительного числа рассматриваемого вида сопоставляемый ординал $E$ будет различным

Ошибка вот в этом. Если конечно определять сопоставленный ординал как предел (он же объединение) последовательности ординалов, сопоставленных начальным участкам. Собственно всем числам, кроме десятично-рациональных, будет сопоставлен $\omega^\omega$.