Положительно определенность и симметричной

[toofack]

Всем привет, я что-то запутался, можете пожалуйста помочь разобраться? В Вики и в некоторых учебниках написано, что матрица положительно определенная, то она симметричная. Определение из Википедии:

В линейной алгебре положи́тельно определённая ма́трица — это эрмитова матрица, которая во многом аналогична положительному вещественному числу.

Тут утверждается про эрмитовость, но в случае вещественном можно считать, что имеется в виду симметричность.

Но далее приводится пример неэрмитовой матрицы положительно определенной.
Пример

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$$

Тогда получается, что невсегда положительно определенная матрица является эрмитовой, но тогда почему это утверждается в определении?

[Mikhail_K]

toofack в сообщении #1548358 писал(а):

Определение из Википедии:

В линейной алгебре положи́тельно определённая ма́трица — это эрмитова матрица, которая во многом аналогична положительному вещественному числу.

Это не определение. Никогда не называйте определениями то, что ими не является! По этому "определению" невозможно понять, что такое положительно определённая матрица.

Найдите определение в любом учебнике алгебры. Скорее всего, вопрос сразу отпадёт. Если нет, напишите сюда найденное определение.

toofack в сообщении #1548358 писал(а):

Но далее приводится пример неэрмитовой матрицы положительно определенной.

Специально сейчас посмотрел в Википедию. Ничего подобного там не говорится. Внимательно посмотрите, какая в точности формулировка там использована по отношению к этой матрице.

[Slav-27]

toofack
Это надо спрашивать у тех, кто писал определение, вы понимаете правильно.

-- 09.02.2022, 02:43 --

Mikhail_K в сообщении #1548360 писал(а):

Ничего подобного там не говорится.

Говорится:

Цитата:

В линейной алгебре положи́тельно определённая ма́трица — это эрмитова матрица

-- 09.02.2022, 02:58 --

Mikhail_K
Ой, я понял, что вы имели в виду; а я имел в виду, что несимметричные с таким свойством тоже можно называть положительно определёнными, но авторы этой конкретной статьи не хотят (имеют право).

[Евгений Машеров]

0. Википедия не авторитетный источник. Уже в силу свободы её редактирования. Всегда есть шанс нарваться на фрика или вандала. Или на вполне добросовестного, но знающего настолько мало, что даже не сознаёт ограниченность своих знаний. Её стоит использовать для начального поиска информации с перепроверкой по учебникам, на которые в статье Википедии приведены ссылки или для освежения в памяти того, что уже знаешь из полноценного давнего курса, а если принимать сведения из Вики некритически - то осознавая высокую вероятность ложной информации.
1. Понятие положительной определённости может быть сформулировано и для неэрмитовых матриц. Однако любую матрицу можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной части. При этом значения квадратичной формы зависят от симметричной части. В этом смысле можно говорить и о положительно определённых несимметричных матрицах, однако ряд важных теорем, имеющих место в эрмитовом случае, оказываются неприменимы в несимметричном. Так, положительность собственных значений вообще говоря не совпадает с положительностью квадратичной формы. Поэтому практически полезные применения понятия положительной определённости подразумевают эрмитовость.

[Mikhail_K]

Евгений Машеров в сообщении #1548373 писал(а):

Понятие положительной определённости может быть сформулировано и для неэрмитовых матриц.

Да; а может и не быть сформулировано. То есть, иногда требование эрмитовости включают в определение положительно определённых матриц, иногда не включают. Поэтому и вопрос "бывают ли неэрмитовы положительно определённые матрицы" не имеет смысла, пока не зафиксировано определение положительно определённой матрицы.

[Евгений Машеров]

Ну, мне кажется, что тут важнее не произвол автора определения (как бы он ни был важен для понимания последующих рассуждений его), сколько то, что тут появляется некое embarras de richesses, "затруднение от избытка" - обобщение этого понятия на несимметричные матрицы может быть произведено разным способом, и исчезает полезное свойство - доказав положительную определённость простым методом, делаем вывод о наличии другого, важного для нас, свойства положительно определённых матриц. Скажем, "положительная определённость в смысле положительной определённости квадратичных форм" оказывается неэквивалентной "положительной определённости в смысле положительности собственных значений"

[Red_Herring]

Если рассмотреть комплексный случай, то значения "квадратичной" (а точнее полуторалинейной) формы зависят и от антиэрмитовой части. Тогда имеет смысл понятие секториальной матрицы, такой, что значения такой формы лежат в определенном секторе комплексной плоскости.