Свойство составных

[kthxbye]

У составных чисел $a(n)$ есть одно интересное свойство. Пусть задана последовательность

$$b(n)=a(n-1)a(n-2) \operatorname{mod} a(n)$$

По умолчанию $b(1)=b(2)=0$. За исключением члена $b(3)=0$ все значения $b(n)$ принадлежат множеству $\left\lbrace2,3,6,8\right\rbrace$ $(1)$. Кроме того, последовательность можно разбить на блоки $\left\lbrace8\right\rbrace$ и $\left\lbrace3\underbrace{2\cdots2}_{2k-1}6\right\rbrace$ $(2)$.

Как можно это ($(1), (2)$) доказать?

Кроме того, судя по всему для $b(n)=6$ остатки от деления $a(n) \operatorname{mod} b(n)$ принадлежат множеству $\left\lbrace0,2\right\rbrace$. Если же мы возьмем $a_1(n)$, составные числа без псевдо-простых Ферма (банально как комплемент для простых и псевдо-простых Ферма), то это правило иногда нарушается. В некоторых случаях мы будем иметь $a_1(n) \operatorname{mod} b_1(n) = 4$ $(3)$. Если это так, то $b_1(n) - 1$ это псевдо-простое Ферма $(4)$. Здесь по аналогии

$$b_1(n)=a_1(n-1)a_1(n-2) \operatorname{mod} a_1(n)$$

Последовательность псевдо-простых Ферма, вычленяемых подобным образом начинается так:

561, 1905, 8481, 18705, 23001, 87249, 154101, 206601, 215265, 289941, 427233, 526593

Как можно это ($(3), (4)$) доказать?